Équations et inéquations dans × \(\mathbb{R} imes \mathbb{R}\)

Introduction

Les équations impliquant deux inconnues \(x\) et \(y\) sont représentées par des courbes dans le plan \(\mathbb{R}^2\). La résolution consiste à trouver les couples \((x, y)\) qui vérifient l'équation.

Méthodes de résolution : substitution et combinaison

1. La substitution

• On exprime une variable en fonction de l'autre à partir d'une des équations.
• On remplace cette expression dans la deuxième équation pour obtenir une seule inconnue.
• Exemple :

Équation 1 : \( y = 2x + 3 \)
Équation 2 : \( x + y = 7 \)

On remplace \( y \) dans la deuxième équation :

\( x + (2x + 3) = 7 \)

Ce qui donne :

\( 3x + 3 = 7 \)

Résolution :

\( 3x = 4 \Rightarrow x = rac{4}{3} \)

Puis on trouve \( y \) :

\( y = 2 	imes rac{4}{3} + 3 = rac{8}{3} + 3 = rac{8}{3} + rac{9}{3} = rac{17}{3} \)

Solution :

\((x, y) = \left( rac{4}{3}, rac{17}{3} 
ight)\)

2. La combinaison ou addition

• On aligne les équations pour éliminer une variable en additionnant ou en soustrayant les équations après adaptation.
• Exemple :

Équations :
\( 3x + 2y = 12 \)
\( 5x - 2y = 8 \)

Addition :

\((3x + 2y) + (5x - 2y) = 12 + 8\)

Ce qui donne :

\( 8x = 20 \Rightarrow x = rac{20}{8} = rac{5}{2} \)

On remplace dans une des équations :

\( 3 	imes rac{5}{2} + 2y = 12 \)

donc :

\( rac{15}{2} + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 12 - rac{15}{2} = rac{24}{2} - rac{15}{2} = rac{9}{2} \)

\( y = rac{9}{4} \)

Solution :

\((x, y) = \left( rac{5}{2}, rac{9}{4} 
ight)\)

Résumé

• La substitution consiste à isoler une variable et la remplacer dans l'autre équation.
• La combinaison permet d'éliminer une variable par addition ou soustraction des équations adaptées.
• Les deux méthodes conduisent à une solution unique ou à une contradiction (absurde) si aucune solution.

Conclusion

Ces techniques permettent de résoudre efficacement les systèmes d'équations du plan, en choisissant la méthode la plus adaptée selon la situation.