Équations et inéquations dans \(\mathbb{R} imes \mathbb{R}\)

Introduction

Les équations et inéquations dans \(\mathbb{R} imes \mathbb{R}\) concernent des relations entre deux variables réelles, généralement notées \(x\) et \(y\). Elles permettent de définir des ensembles de points dans le plan.

Les équations

Définition

Une équation du type \(f(x, y) = 0\) établit une relation entre \(x\) et \(y\). Elle définit une courbe dans le plan appelée courbe problème.

Exemples

• \(x + y = 3\) représente une droite dans le plan.
• \(x^2 + y^2 = 1\) représente un cercle de rayon 1.

Les inéquations

Définition

Une inéquation du type \(f(x, y) \ ext{relation} \ 0\), où \( ext{relation}\) est un symbole comme \(\,<, \leq, >, \geq\), définit une région du plan.

Exemples

• \(x + y < 3\) définit la région située en dessous de la droite \(x + y = 3\).
• \(x^2 + y^2 \leq 1\) désigne le disque de rayon 1 inclus dans le cercle.

Résolution graphique

Pour résoudre une équation ou inéquation dans \(\mathbb{R} imes \mathbb{R}\), on peut tracer la courbe ou la région correspondante dans le plan.

Étapes

1. Tracer la courbe de l’équation (pour une équation).
2. Tracer la région correspondant à l’inéquation (pour une inéquation), en précisant si c’est strict (<) ou large (≤).
3. Identifier l’ensemble des solutions graphiquement.

Exemple illustratif

Équation

Résoudre \(x + y = 2\).

Solution : la droite passant par (0, 2) et (2, 0).

Inéquation

Résoudre \(x - y > 1\).

Solution : la région située au-dessus de la droite \(x - y = 1\).

Conclusion

Les équations donnent des courbes, tandis que les inéquations donnent des régions du plan. La résolution graphique permet une compréhension intuitive de ces relations dans \(\mathbb{R} imes \mathbb{R}\).