Addition, soustraction et multiplication de fractions et simplification

Pour additionner ou soustraire des fractions, on les découpe d’abord en parts de même taille (même dénominateur) ; pour les multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; et on simplifie toujours le résultat.

Objectifs

Simplifier une fraction et reconnaître une fraction irréductible.
Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur, puis de dénominateurs différents.
Multiplier deux fractions et calculer une fraction d’une quantité.
Éviter les erreurs les plus fréquentes.

Rappel : ce qu’est une fraction

Dans la fraction \(\frac{a}{b}\) (avec \(b \neq 0\)) :

le dénominateur \(b\) (en bas) dit en combien de parts égales on a coupé l’unité : c’est la taille des parts ;
le numérateur \(a\) (en haut) dit combien de parts on prend.

Une fraction est aussi un quotient : \(\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75\).

1. Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun. Quand on ne peut plus simplifier, la fraction est irréductible.

Exemple résolu 1

Simplifier \(\frac{12}{18}\) jusqu’à obtenir une fraction irréductible. Cherche d’abord.

12 et 18 sont pairs : on divise par 2. \[\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}\]

6 et 9 sont dans la table de 3 : on divise par 3. \[\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}\]

2 et 3 n’ont plus de diviseur commun autre que 1 : \(\frac{2}{3}\) est irréductible. (On pouvait aller plus vite en divisant directement par 6.)

Exemple résolu 2

Simplifier \(\frac{15}{25}\).

Voir la solution

15 et 25 finissent par 5, on divise par 5 : \[\frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}.\] 3 et 5 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1 : \(\frac{3}{5}\) est irréductible.

Quelle est la forme irréductible de \(\frac{18}{24}\) ?

\(\frac{9}{12}\)
\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{6}{8}\)

18 et 24 sont tous deux dans la table de 6 : \(\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}\). Les fractions \(\frac{9}{12}\) et \(\frac{6}{8}\) sont égales, mais encore simplifiables.

2. Additionner et soustraire des fractions

a) Même dénominateur

Exemples : \(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}\) et \(\frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).

b) Dénominateurs différents

On réécrit d’abord les fractions avec un dénominateur commun, en multipliant le haut et le bas par un même nombre. Le plus simple : quand un dénominateur est un multiple de l’autre, on prend le plus grand des deux.

On coupe chaque moitié en deux : la moitié bleue devient deux quarts, sa taille ne change pas.

Toutes les parts ont maintenant la même taille : on peut ajouter un quart (orange) et compter 3 quarts.

En calcul : \[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\]

flowchart LR
A[Deux fractions] --> B{Meme denominateur}
B -- oui --> C[Ajouter les numerateurs]
B -- non --> D[Chercher un denominateur commun]
D --> E[Transformer les fractions]
E --> C
C --> F[Simplifier le resultat]

Exemple résolu 3

Calculer \(\frac{1}{2} + \frac{3}{8}\). Cherche d’abord.

8 est un multiple de 2 (\(8 = 2 \times 4\)) : le dénominateur commun est 8.

On transforme \(\frac{1}{2}\) : \[\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}\]

On additionne les numérateurs : \[\frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}\] 7 et 8 n’ont pas de diviseur commun : le résultat est irréductible.

Exemple résolu 4

Calculer \(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\).

Voir la solution

6 est un multiple de 3, on écrit tout en sixièmes : \[\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\]

Exemple résolu 5 (aucun dénominateur n’est multiple de l’autre)

Calculer \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\).

Voir la solution

On cherche un multiple commun à 4 et à 3 : 12 convient (\(4 \times 3 = 12\)). \[\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}.\]

Exemple résolu 6 (problème)

Kofi reçoit 2 000 F CFA d’argent de poche. Il dépense \(\frac{1}{4}\) de cette somme en transport et \(\frac{1}{2}\) pour manger. Quelle fraction de son argent lui reste-t-il ? Combien cela fait-il ?

Fraction dépensée : \[\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\]

Tout l’argent correspond à \(1 = \frac{4}{4}\). Il reste : \[\frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]

Un quart de 2 000 F : \(2\,000 \div 4 = 500\). Il reste à Kofi 500 F CFA.

Combien vaut \(\frac{2}{5} + \frac{1}{10}\) ?

\(\frac{3}{15}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{3}{10}\)

\(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\), donc \(\frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). La réponse \(\frac{3}{15}\) vient de l’erreur qui additionne les dénominateurs.

Combien vaut \(\frac{7}{9} - \frac{1}{3}\) ?

\(\frac{6}{6}\)
\(\frac{6}{9}\)
\(\frac{4}{9}\)

\(\frac{1}{3} = \frac{3}{9}\), donc \(\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = \frac{4}{9}\).

3. Multiplier des fractions

Pour un nombre entier, on l’écrit sous forme de fraction : \(5 = \frac{5}{1}\), donc \(5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\).

Exemple résolu 7

Calculer \(\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}\).

Voir la solution

\[\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}.\] 10 et 21 n’ont pas de diviseur commun : c’est irréductible.

Exemple résolu 8 (simplifier avant de calculer)

Calculer \(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}\) et donner le résultat irréductible.

On écrit le produit sur une seule fraction sans effectuer : \[\frac{3 \times 8}{4 \times 9}\]

On décompose pour voir les facteurs communs : \(8 = 4 \times 2\) et \(9 = 3 \times 3\). \[\frac{3 \times 4 \times 2}{4 \times 3 \times 3}\]

On simplifie par 3 et par 4 : \[\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{2}{3}\] (Vérification : \(\frac{24}{36} = \frac{2}{3}\) en divisant par 12.)

Exemple résolu 9 (fraction d’une quantité)

Un pagne coûte 6 000 F CFA. Pendant les soldes, Aïcha paie les \(\frac{3}{4}\) du prix. Combien paie-t-elle ?

Voir la solution

\[\frac{3}{4} \times 6\,000 = \frac{3 \times 6\,000}{4} = \frac{18\,000}{4} = 4\,500.\] Aïcha paie 4 500 F CFA (astuce : un quart de 6 000, c’est 1 500, et trois quarts c’est \(3 \times 1\,500\)).

Combien vaut \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{4}\) (forme irréductible) ?

\(\frac{3}{2}\)
\(\frac{11}{7}\)
\(\frac{18}{7}\)

\(\frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\) (on divise par 6). Les autres réponses additionnent au lieu de multiplier.

Une classe de 40 élèves compte \(\frac{3}{5}\) de filles. Combien y a-t-il de filles ?

\(\frac{3}{5} \times 40 = 3 \times 8 = 24\) : un cinquième de 40 fait 8, trois cinquièmes font 24.

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs : \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) et non \(\frac{2}{6}\).
Transformer seulement le dénominateur : pour passer de \(\frac{1}{2}\) à des huitièmes, on multiplie le haut ET le bas par 4.
Simplifier en soustrayant : \(\frac{5}{7}\) n’est pas égal à \(\frac{4}{6}\) ; on simplifie seulement en divisant.
Oublier de simplifier le résultat final.

Récapitulatif

Simplifier : diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Additionner / soustraire : même dénominateur d’abord, puis on opère sur les numérateurs.
Multiplier : numérateur fois numérateur, dénominateur fois dénominateur.
Prendre une fraction d’une quantité : multiplier la fraction par la quantité.

Fraction irréductible

Fraction qu’on ne peut plus simplifier : son numérateur et son dénominateur n’ont que 1 comme diviseur commun.

Simplifier une fraction

Diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun.

Addition avec même dénominateur

On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur.

Dénominateurs différents

On réécrit les fractions avec un dénominateur commun avant d’additionner ou de soustraire.

Produit de deux fractions

Numérateur fois numérateur sur dénominateur fois dénominateur, puis on simplifie.