Aires, angles et optimisation

On sait calculer l'aire et les angles des figures usuelles ; quand une longueur peut varier, l'aire devient une fonction, et optimiser c'est chercher la valeur qui la rend la plus grande ou la plus petite possible.

Objectifs

Calculer les aires des figures usuelles (rectangle, triangle, parallélogramme, trapèze, losange, disque).
Utiliser les propriétés des angles : somme des angles d'un triangle, triangles particuliers, droites parallèles, polygones.
Exprimer une aire en fonction d'une longueur \(x\) et trouver sa valeur maximale ou minimale.

1. Les aires des figures usuelles

Figure	Aire
Rectangle de longueur \(L\) et largeur \(\ell\)	\(L \times \ell\)
Carré de côté \(c\)	\(c^2\)
Triangle de base \(b\) et hauteur \(h\)	\(\dfrac{b \times h}{2}\)
Parallélogramme de base \(b\) et hauteur \(h\)	\(b \times h\)
Trapèze de bases \(B\), \(b\) et hauteur \(h\)	\(\dfrac{(B + b) \times h}{2}\)
Losange de diagonales \(D\) et \(d\)	\(\dfrac{D \times d}{2}\)
Disque de rayon \(r\)	\(\pi r^2\)

Exemple résolu

M. Ouédraogo achète à Ouagadougou une parcelle en forme de trapèze : bases 30 m et 20 m, hauteur 15 m. Le vendeur demande 5 000 F CFA le mètre carré. Quel est le prix ? Cherche d'abord.

Aire du trapèze : \[\mathcal{A} = \frac{(30 + 20) \times 15}{2} = \frac{50 \times 15}{2} = \frac{750}{2} = 375\ \mathrm{m}^2.\]

Prix : \(375 \times 5\,000 = 1\,875\,000\) F CFA.

Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 5 cm. Quelle est son aire ?

\(60\ \mathrm{cm}^2\)
\(30\ \mathrm{cm}^2\)
\(17\ \mathrm{cm}^2\)

\(\dfrac{12 \times 5}{2} = 30\ \mathrm{cm}^2\). 60 serait l'aire du rectangle : on a oublié de diviser par 2.

2. Les angles

Exemple résolu

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(\widehat{BAC} = 40^\circ\). Calculer \(\widehat{ABC}\).

Voir la solution

Les angles à la base sont égaux : \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\). Donc \[2\,\widehat{ABC} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ, \quad \text{d'où} \quad \widehat{ABC} = 70^\circ.\]

Exemple : un hexagone régulier (comme une alvéole de nid d'abeille) a 6 côtés. La somme de ses angles vaut \((6 - 2) \times 180^\circ = 720^\circ\), donc chaque angle mesure \(720^\circ \div 6 = 120^\circ\).

Dans un triangle, deux angles mesurent \(35^\circ\) et \(65^\circ\). Combien mesure le troisième ?

\(100^\circ\)
\(90^\circ\)
\(80^\circ\)

\(180^\circ - 35^\circ - 65^\circ = 80^\circ\).

3. Optimisation : rendre une aire maximale ou minimale

Exemple résolu 1 : l'enclos

On note \(x\) la longueur (en m) d'un côté. Le demi-périmètre vaut \(40 \div 2 = 20\) m, donc l'autre côté mesure \(20 - x\), avec \(0 < x < 20\).

Aire : \(\mathcal{A}(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x\).

Forme canonique : \[\mathcal{A}(x) = -(x^2 - 20x) = -\big[(x - 10)^2 - 100\big] = 100 - (x - 10)^2.\]

Un carré \((x-10)^2\) est toujours positif ou nul, donc \(\mathcal{A}(x) \le 100\), avec égalité pour \(x = 10\).

Conclusion : l'aire est maximale, égale à \(100\ \mathrm{m}^2\), quand l'enclos est un carré de 10 m de côté.

Fais varier le périmètre \(p\) du grillage avec le curseur : la courbe de \(\mathcal{A}(x) = x\left(\frac{p}{2} - x\right)\) a toujours son sommet au milieu, c'est-à-dire pour le carré.

Avec 60 m de grillage, quelle est l'aire maximale d'un enclos rectangulaire ?

\(225\ \mathrm{m}^2\)
\(900\ \mathrm{m}^2\)
\(240\ \mathrm{m}^2\)

Le maximum est atteint pour le carré : côté \(60 \div 4 = 15\) m, aire \(15^2 = 225\ \mathrm{m}^2\).

Exemple résolu 2 : le carré dans le carré

\(ABCD\) est un carré de côté 6 cm. On place \(M\) sur \([AB]\), \(N\) sur \([BC]\), \(P\) sur \([CD]\), \(Q\) sur \([DA]\) tels que \(AM = BN = CP = DQ = x\), avec \(0 \le x \le 6\). Le quadrilatère \(MNPQ\) est un carré. Pour quelle valeur de \(x\) son aire est-elle minimale ?

On place les quatre points à la même distance \(x\) de chaque sommet, en tournant dans le même sens.

On relie les points : on obtient le carré \(MNPQ\), dont on cherche l'aire.

Il reste quatre triangles rectangles identiques dans les coins : aire de \(MNPQ\) = aire de \(ABCD\) moins ces quatre triangles.

Cherche d'abord, puis dévoile la solution.

Chaque triangle de coin, par exemple \(MBN\), est rectangle en \(B\) avec \(MB = 6 - x\) et \(BN = x\) : son aire vaut \(\dfrac{x(6 - x)}{2}\).

\[\mathcal{A}(x) = 36 - 4 \times \frac{x(6-x)}{2} = 36 - 2x(6 - x) = 2x^2 - 12x + 36.\]

Forme canonique : \[2x^2 - 12x + 36 = 2(x^2 - 6x) + 36 = 2\big[(x-3)^2 - 9\big] + 36 = 2(x-3)^2 + 18.\]

Comme \(2(x-3)^2 \ge 0\), on a \(\mathcal{A}(x) \ge 18\), avec égalité pour \(x = 3\).

Conclusion : l'aire de \(MNPQ\) est minimale, égale à \(18\ \mathrm{cm}^2\), quand \(M, N, P, Q\) sont les milieux des côtés (c'est la moitié de l'aire de \(ABCD\)).

Avec \(\mathcal{A}(x) = 2(x-3)^2 + 18\), combien vaut l'aire de \(MNPQ\) pour \(x = 1\) ?

\(18\ \mathrm{cm}^2\)
\(26\ \mathrm{cm}^2\)
\(22\ \mathrm{cm}^2\)

\(2(1-3)^2 + 18 = 2 \times 4 + 18 = 26\). Vérification directe : \(36 - 2 \times 1 \times 5 = 26\).

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par 2 pour un triangle, un trapèze ou un losange.
Prendre un côté oblique à la place de la hauteur.
Mélanger les unités (m et cm) ou oublier le « au carré » d'une aire.
Oublier que \(x\) doit rester dans un intervalle qui a du sens (longueurs positives).
Donner seulement la valeur de \(x\) sans la valeur de l'aire optimale, ou l'inverse.

Récapitulatif

Aires : rectangle \(L\ell\), triangle \(\frac{bh}{2}\), trapèze \(\frac{(B+b)h}{2}\), disque \(\pi r^2\).
Angles : \(180^\circ\) dans un triangle, \((n-2) \times 180^\circ\) dans un polygone à \(n\) côtés ; parallèles : alternes-internes et correspondants égaux.
Optimiser : poser \(x\), donner son intervalle, écrire \(\mathcal{A}(x)\), utiliser la forme canonique ou le graphique, conclure.
À périmètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré.

Aire du triangle

\(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\), hauteur perpendiculaire à la base.

Aire du trapèze

\(\dfrac{(B + b) \times h}{2}\)

Somme des angles d'un triangle

\(180^\circ\)

Angles d'un polygone à \(n\) côtés

\((n - 2) \times 180^\circ\)

Optimiser une aire

Poser \(x\), écrire \(\mathcal{A}(x)\), forme canonique, lire le maximum ou le minimum.