Aires de figures composées

Pour calculer l'aire d'une figure complexe, on décompose en figures simples dont on calcule l'aire séparément.

Objectifs

Savoir décomposer une figure composée en figures simples.
Calculer l'aire d'une figure composée en utilisant les aires des formes simples.
Appliquer la méthode pour résoudre des exercices variés.

Notions clés

Figures composées : figure formée par l'assemblage de plusieurs formes simples.
Décomposition : découper une figure complexe en formes plates simples (rectangle, triangle, cercle).
Formule d'aire : par exemple, pour un rectangle \(A = L \times l\), pour un cercle \(A = \pi r^2\).
Somme d'aires : \(A_{total} = A_1 + A_2 + ... + A_n\) pour les figures en dessous ou à côté.

Exemple résolu

Problème

Calculer l'aire d'une figure composée d'un rectangle de longueur 10 cm et de largeur 4 cm, avec un demi-cercle posé sur un des côtés de longueur 10 cm.

Solution

Voir la solution détaillée

Découper la figure en deux parties : un rectangle et un demi-cercle.

Calculer l'aire du rectangle : \[ A_{rectangle} = 10 \times 4 = 40 \text{ cm}^2 \]

Calculer le rayon du demi-cercle : \[ r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \]

Calculer l'aire du demi-cercle : \[ A_{demi-cercle} = \frac{1}{2} \times \pi \times 5^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 25 = \frac{25 \pi}{2} \text{ cm}^2 \]

Obtenir l'aire totale : \[ A_{total} = 40 + \frac{25 \pi}{2} \text{ cm}^2 \]

Réponse approchée

En utilisant \( \pi \approx 3,14 \), l'aire du demi-cercle est : \[ \frac{25 \times 3,14}{2} \approx 39,25 \text{ cm}^2 \] L'aire totale est donc environ : \[ 40 + 39,25 \approx 79,25 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, l'aire de la figure est environ \( 79,25 \text{ cm}^2 \).

Voir la vérification

Pour vérifier, on additionne 40 et 39,25, ce qui donne environ 79,25 cm².

Erreurs fréquentes

Confondre la décomposition en figures simples et leur somme d'aires.
Oublier de respecter l'unité (cm², m²...).
Utiliser la mauvaise formule d'aire pour une forme donnée.
Ne pas prendre en compte les parties à soustraire ou à ajouter dans une figure complexe.

Récapitulatif

Décompose la figure complexe en formes simples.
Calcule chaque aire séparément en utilisant la formule adaptée.
Ajoute ou soustrait les aires selon leur position dans la figure.
Vérifie les unités et la cohérence des résultats.

Mini-quiz

Quelle est la première étape pour trouver l'aire d'une figure composée ?

Multipliez toutes les longueurs entre elles
Décomposez la figure en formes simples
Multiplier par \( \pi \)

La bonne réponse est 2 : il faut d'abord décomposer la figure en formes simples pour calculer leurs aires.

Carte mémo

Décomposition

Diviser une figure complexe en formes simples pour calculer l'aire facilement.

Aire d'un rectangle

Longueur \( L \) × largeur \( l \), soit \( L \times l \).

Aire d'un cercle

\( \pi \times r^2 \), avec \( r \) rayon.