Développer, factoriser : transformer des expressions pour calculer ou simplifier plus facilement.

Développement et factorisation d'expressions polynomiales

Niveau : 4ème — Thème : Algèbre et équations — Détail : Développement et factorisation

Objectifs

Comprendre et utiliser la propriété distributive pour développer une expression.
Reconnaître et appliquer les identités remarquables.
Factoriser en sortie d'un développement (mettre en facteur) pour simplifier ou résoudre des équations.
Relier développement et factorisation comme opérations inverses.

Notions clés

La propriété distributive (définition)

Avant la définition, imagine que tu partages des bonbons en paquets : si tu as \(a\) paquets et chaque paquet contient \(b+c\) bonbons, le nombre total est \(a\times(b+c)\). Maintenant la formule :

Si on a deux nombres ou expressions \(a, b, c\), alors :

\[a(b+c)=ab+ac\]

Développer

Développer, c'est appliquer la distributivité pour transformer un produit en somme. Exemples de formes courantes :

\(a(b+c)=ab+ac\)
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) (on multiplie chaque terme du premier parenthèse par chaque terme du second)

Factoriser

Factoriser, c'est mettre une quantité commune en facteur pour transformer une somme en produit. Exemple simple :

Si \(ab+ac\) a un facteur commun \(a\), on peut écrire :

\[ab+ac=a(b+c)\]

Identités remarquables

Trois identités à connaître :

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Quiz — Quelle égalité est correcte ?

\(2(x+3)=2x+6\)
\(2(x+3)=2x+3\)
\((x+2)^2=x^2+2x\)

La réponse 1 est correcte : on applique la distributivité. Les autres oublient un terme ou un carré.

Développer : méthode et exemples

Méthode (distributivité simple)

Identifie les parenthèses et les facteurs extérieurs.
Multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second (ou distribue le facteur extérieur).
Simplifie en combinant les termes semblables (mêmes puissances de \(x\)).

Exemple résolu 1 — Développer \((x+3)(x+2)\)

Voir la solution

Étape 1 : appliquer la distributivité ou la méthode « FOIL » (First, Outer, Inner, Last).

Étape 2 : multiplications : \(x\times x=x^2\), \(x\times 2=2x\), \(3\times x=3x\), \(3\times 2=6\).

Étape 3 : additionner les termes semblables : \(2x+3x=5x\).

Conclusion : \[(x+3)(x+2)=x^2+5x+6\]

Exemple guidé (align)

Commencer :

\[\begin{align} (x+3)(x+2) &= x(x+2)+3(x+2)\\ &= (x\times x)+(x\times 2)+(3\times x)+(3\times 2)\\ &= x^2+2x+3x+6\\ &= x^2+5x+6 \end{align}\]

Quiz — Quel est le développement de \(3(2x-4)\) ?

\(6x-4\)
\(6x-12\)
\(6x-12\)

Multiplier 3 par chaque terme : \(3\times 2x=6x\) et \(3\times(-4)=-12\), donc \(6x-12\). (Réponse 3 correcte.)

Factoriser : méthodes et exemples

Mettre en facteur commun

Si tous les termes d'une somme contiennent une même expression, on la met en facteur. Exemple :

\[5x+10=5(x+2)\]

Exemple résolu 2 — Factoriser \(x^2+5x\)

Voir la solution

Étape 1 : repérer le facteur commun : ici \(x\) est commun à \(x^2\) et \(5x\).

Étape 2 : écrire \(x^2+5x=x(x+5)\).

Conclusion : \[x^2+5x=x(x+5)\]

Factorisation par identité remarquable

Reconnaître des formes comme \(a^2-b^2\) permet d'écrire un produit :

Exemple : \[x^2-9=(x-3)(x+3)\]

Quiz — Quelle est la factorisation de \(4x^2-9\) ?

\((2x-3)^2\)
\((2x-3)(2x+3)\)
\((4x-9)(x+1)\)

On reconnaît une différence de carrés : \(4x^2=(2x)^2\) et \(9=3^2\), donc \((2x-3)(2x+3)\).

Schéma explicatif (construction étape par étape)

Le schéma montre la décomposition d'une aire correspondant à \((x+3)(x+2)\) en parties plus simples (aire \(x^2\), aires rectangulaires en \(x\) et aire constante).

Étape 1 : on repère la partie \(x\times x\) (aire \(x^2\)).

Étape 2 : on ajoute les deux rectangles représentant \(x\times 3\) et \(2\times x\) (termes en \(x\)).

Étape 3 : le petit carré en bas à droite est l'aire constante \(3\times 2=6\).

Règles pratiques et astuces

Récapitulatif court

Distributivité : \(a(b+c)=ab+ac\).
Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse.
Connaitre les identités remarquables facilite les calculs rapides.

Cartes mémo

Distributivité

\(a(b+c)=ab+ac\)

Développer

Produit -> somme (multiplier chaque terme)

Factoriser

Mettre un facteur commun : somme -> produit

Identités remarquables

\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\) et \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)