Algèbre et équations

Thème : Développement et factorisation d’expressions polynomiales

Introduction

En 4ème, il est essentiel de savoir développer et factoriser des expressions polynomiales. Ces techniques permettent de simplifier les calculs et de résoudre des équations plus facilement.

1. Le développement d’un produit

Le développement consiste à transformer un produit en somme ou différence en utilisant la distributivité.

Exemple :

(a + b) × c = a × c + b × c

Pour développer :

(x + 3)(x + 2) = x 	imes x + x 	imes 2 + 3 	imes x + 3 	imes 2 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6

2. La factorisation d’une expression polynomiale

La factorisation consiste à écrire une expression sous forme de produit de facteurs. Elle permet de simplifier et de résoudre plus facilement des équations.

Étapes générales :

• Rechercher un facteur commun dans tous les termes.
• Utiliser des identités remarquables si possible (différence de carrés, carré parfait, etc.).

Exemples :

1) 6x + 9 = 3(2x + 3)

2) x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) (différence de carrés)

3. Application pratique

Développer puis factoriser l’expression suivante :

(x + 4)(x + 3) = ?

Solution :

(x + 4)(x + 3) = x 	imes x + x 	imes 3 + 4 	imes x + 4 	imes 3 = x^2 + 3x + 4x + 12 = x^2 + 7x + 12

Pour la factoriser :

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Conclusion

Le développement et la factorisation sont deux opérations essentielles en algèbre pour manipuler et simplifier les expressions polynomiales. Maîtriser ces techniques facilite la résolution d’équations et la compréhension des expressions algébriques.