Algèbre et Fonctions

1. Les expressions algébriques

Une expression algébrique combine des nombres, des variables et des opérations (+, −, ×, ÷, etc.). Exemple : \( 3x^2 - 2x + 5 \).

2. Les opérations sur les expressions

• Simplification : réduire une expression en regroupant les termes semblables.
  Exemple : \( 2x + 3x = 5x \).
• Factoring (factorisation) : écrire une expression sous forme de produits.
  Exemple : \( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \).

3. Fonctions

Une fonction est une relation qui à chaque valeur d'une variable (\(x\)) associe une seule valeur (\(f(x)\)).

3.1 Définition

On note une fonction par \(f : x \mapsto f(x)\).

3.2 Représentations

• Tableau de valeurs
• Graphe dans un repère (plan cartésien)
• Expression algébrique (ex: \(f(x) = 2x + 1\))

4. Types de fonctions

• Fonction affine : \(f(x) = ax + b\), où \(a, b\) sont constants.
• Fonction rectiligne (linéaire) : même que la fonction affine.
• Fonction quadratique : \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a eq 0\).
• Fonction affine exponentielle : \(f(x) = a imes b^x\), avec \(a, b\) constants, \(b > 0\), \(b eq 1\).

5. Variations et courbes

Analyser la variation d'une fonction permet de déterminer si elle est croissante ou décroissante. - Si \(f'(x) > 0\), la fonction est croissante. - Si \(f'(x) < 0\), elle est décroissante. Exemple : La dérivée de \(f(x) = 2x + 3\) est \(f'(x) = 2\), toujours positive, donc la fonction est toujours croissante.

6. Résolution d'équations simples

Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs de \(x\) qui vérifient l'égalité. Exemple : Résoudre \(2x + 3 = 7\). \[ 2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \]

Conclusion

L'étude des fonctions permet d'analyser leur comportement, leur croissance et leur représentation graphique. La maîtrise des expressions algébriques est essentielle pour manipuler et résoudre des problèmes en mathématiques.