Équations de droites : alignement de points, intersection, parallélisme

Avec les coordonnées, on peut prouver par le calcul que trois points sont alignés, que deux droites sont parallèles, ou trouver le point où deux droites se croisent.

Objectifs

Démontrer que trois points sont alignés (coefficients directeurs ou vecteurs colinéaires).
Reconnaître deux droites parallèles à partir de leurs équations.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes en résolvant un système.

Rappels utiles

Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite \( y = mx + p \) : \( m \) est le coefficient directeur (la « pente »), \( p \) l'ordonnée à l'origine.
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation du type \( x = c \).
Toute droite a une équation cartésienne \( ax + by + c = 0 \) avec \( (a\,;b) \neq (0\,;0) \) ; le vecteur \( \vec{u}\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix} \) est alors un vecteur directeur.
Le coefficient directeur de la droite \( (AB) \) (si \( x_A \neq x_B \)) : \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. \]
Deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix} \) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : \[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0. \]

Manipule les curseurs : la première droite a pour équation \( y = mx + p \), la seconde \( y = nx + q \). Observe ce qui se passe quand \( m = n \).

1. Alignement de trois points

Exemple résolu

Les points \( A(1\,;2) \), \( B(3\,;6) \) et \( C(-1\,;-2) \) sont-ils alignés ? Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On place les trois points dans le repère (1 carreau = 1 unité).

La droite (AB) monte de 4 quand on avance de 2 : sa pente est 2.

La droite (AC) a aussi la pente 2 et passe par A : c'est la même droite, d'équation y = 2x, et elle passe par C.

Étape 1 : on calcule les coordonnées des vecteurs. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-1\\ 6-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-1\\ -2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\ -4\end{pmatrix} \).

Étape 2 : on calcule le déterminant. \[ \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times (-4) - 4 \times (-2) = -8 + 8 = 0. \]

Étape 3 : le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires : les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés.

Vérification par les pentes : \( m_{AB} = \dfrac{6-2}{3-1} = 2 \) et \( m_{AC} = \dfrac{-2-2}{-1-1} = 2 \). Même pente, même conclusion.

On a \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\ 3\end{pmatrix} \). Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Oui, car le déterminant vaut 0
Non, car le déterminant vaut 3
On ne peut pas savoir sans figure

\( \det = 3 \times 3 - 1 \times 6 = 9 - 6 = 3 \neq 0 \) : les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points ne sont pas alignés.

2. Droites parallèles

Exemple résolu

Les droites \( d_1 : 2x - y + 3 = 0 \) et \( d_2 : -4x + 2y + 1 = 0 \) sont-elles parallèles ? Confondues ?

Étape 1 : vecteurs directeurs. Pour \( ax + by + c = 0 \), on prend \( \vec{u}\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix} \). Donc \( \vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} \) pour \( d_1 \) et \( \vec{u_2}\begin{pmatrix}-2\\ -4\end{pmatrix} \) pour \( d_2 \).

Étape 2 : \( \det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = 1 \times (-4) - 2 \times (-2) = -4 + 4 = 0 \). Les vecteurs sont colinéaires : \( d_1 \parallel d_2 \).

Étape 3 : confondues ? Le point \( (0\,;3) \) est sur \( d_1 \) car \( 0 - 3 + 3 = 0 \). Dans \( d_2 \) : \( -4 \times 0 + 2 \times 3 + 1 = 7 \neq 0 \). Ce point n'est pas sur \( d_2 \).

Conclusion : \( d_1 \) et \( d_2 \) sont strictement parallèles. (Avec les équations réduites : \( y = 2x + 3 \) et \( y = 2x - 0{,}5 \), même pente, ordonnées à l'origine différentes.)

Quelle droite est parallèle à \( y = -3x + 1 \) ?

\( y = 3x + 1 \)
\( y = x - 3 \)
\( y = -3x + 7 \)

Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur : ici \( -3 \). Seule \( y = -3x + 7 \) convient.

3. Point d'intersection de deux droites sécantes

Exemple résolu 1 (équations réduites)

Trouve le point d'intersection de \( d : y = 2x - 1 \) et \( d' : y = -x + 5 \).

Étape 1 : les pentes 2 et \( -1 \) sont différentes : les droites sont sécantes.

Étape 2 : au point commun, les deux \( y \) sont égaux : \( 2x - 1 = -x + 5 \), donc \( 3x = 6 \) et \( x = 2 \).

Étape 3 : \( y = 2 \times 2 - 1 = 3 \). Vérification dans \( d' \) : \( -2 + 5 = 3 \). Le point d'intersection est \( I(2\,;3) \).

Avec le graphique du début (réglé sur \( m = 2 \), \( p = -1 \), \( n = -1 \), \( q = 5 \)), tu vois les deux droites se croiser en \( (2\,;3) \).

Exemple résolu 2 (équations cartésiennes)

Trouve le point d'intersection de \( d_1 : x + 2y - 4 = 0 \) et \( d_2 : 3x - y - 5 = 0 \). Cherche d'abord.

Voir la solution

Vecteurs directeurs \( \begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix} \) et \( \begin{pmatrix}1\\ 3\end{pmatrix} \) : \( \det = -2 \times 3 - 1 \times 1 = -7 \neq 0 \), les droites sont sécantes.

De \( d_2 \) : \( y = 3x - 5 \). On remplace dans \( d_1 \) :

\[ \begin{align} x + 2(3x - 5) - 4 &= 0 \\ 7x - 14 &= 0 \\ x &= 2 \end{align} \]

Puis \( y = 3 \times 2 - 5 = 1 \). Vérification : \( 2 + 2 \times 1 - 4 = 0 \) et \( 3 \times 2 - 1 - 5 = 0 \). Le point d'intersection est \( (2\,;1) \).

Les droites \( y = x + 1 \) et \( y = -x + 3 \) se coupent en :

\( (1\,;2) \)
\( (2\,;1) \)
\( (0\,;1) \)

\( x + 1 = -x + 3 \) donne \( 2x = 2 \), donc \( x = 1 \) et \( y = 2 \). Vérification : \( -1 + 3 = 2 \).

4. Bilan : position relative de deux droites

flowchart TD
  A[Deux droites d et d prime] --> B{Memes pentes ou vecteurs directeurs colineaires}
  B -->|Non| C[Secantes en un point]
  C --> D[Resoudre le systeme]
  B -->|Oui| E{Un point commun}
  E -->|Oui| F[Confondues]
  E -->|Non| G[Strictement paralleles]

Erreurs fréquentes

Inverser la soustraction dans la pente : \( \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \), même ordre en haut et en bas.
Prendre \( a \) comme pente dans \( ax + by + c = 0 \) au lieu de \( -\dfrac{a}{b} \).
Oublier de vérifier que les droites sont sécantes avant de chercher le point d'intersection (si elles sont parallèles, le système n'a pas de solution unique).
Conclure « alignés » à partir d'une figure : il faut un calcul.

Récapitulatif

\( A, B, C \) alignés \( \iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0 \) (ou même pente pour \( (AB) \) et \( (AC) \)).
\( y = mx + p \) et \( y = m'x + p' \) parallèles \( \iff m = m' \).
Équations cartésiennes : parallèles \( \iff \) vecteurs directeurs colinéaires.
Droites sécantes : le point d'intersection est la solution du système des deux équations.

Déterminant de deux vecteurs

\( \det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' \) ; nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Trois points alignés

\( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) colinéaires.

Vecteur directeur de \( ax + by + c = 0 \)

\( \vec{u}\begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix} \)

Droites parallèles

Même coefficient directeur, ou vecteurs directeurs colinéaires.

Point d'intersection

Solution du système formé par les deux équations.