1. Introduction

L'étude de la monotonie d'une fonction permet de déterminer où elle est croissante ou décroissante. Cela est essentiel pour identifier ses points extrêmes (minimum ou maximum local) et optimiser ses valeurs.

2. La notion de monotonie

Une fonction f est :

• Croissante sur un intervalle si pour tout x et x' dans cet intervalle, si x < x', alors f(x) < f(x').
• Décroissante si pour tout x < x', alors f(x) > f(x').

3. Étude de la dérivée

Pour analyser la monotonie, on utilise la dérivée f' :

• Si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) < 0 sur un intervalle, f est décroissante.

Les points où f'(x) = 0 ou n'existe pas sont appelés points critiques.

4. Recherche des intervalles de croissance et décroissance

Étapes :

1. Calculer la dérivée f'.
2. Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques.
3. Étudier le signe de f' dans chaque intervalle délimité par ces points critiques.
4. En déduire les intervalles de croissance/décroissance.

5. Étude des extrema

Les extrema locaux (minimum ou maximum) se produisent en :

• Les points où f'(x) change de signe :
• De négatif à positif : maximum local.
• De positif à négatif : minimum local.

6. Application à l'optimisation

Pour optimiser une fonction :

1. Étudier la monotonie à l'aide de la dérivée.
2. Identifier les points critiques.
3. Comparer les valeurs de f en ces points et en extrémité des intervalles pour déterminer le maximum ou le minimum global.

Exemple : si f représente une marge bénéficiaire en fonction du prix, on peut déterminer le prix qui maximise cette marge.