Introduction

Ce cours présente les notions de limite et de dérivée d'une fonction, fondamentales en analyse pour étudier le comportement des fonctions.

Les limites

Définition

La limite d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) est la valeur vers laquelle \(f(x)\) tend lorsque \(x\) approche \(a\), si cette valeur existe.

Notation

On note : \[ \lim_{x o a} f(x) = L \]

Exemples

• Si \(f(x) = 2x\), alors \(\lim_{x o 3} 2x = 6\).
• Pour \(f(x) = rac{1}{x}\), la limite en 0 n'existe pas, mais la limite quand \(x\) tend vers 0 par la droite est \(+\infty\).

Calcul des limites

Techniques

• Factoriser et simplifier l'expression.
• Utiliser des propriétés de limites (somme, produit, quotient).
• Connaître les limites de fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, racines, etc.).

Exemple

Calcultons \(\lim_{x o 2} rac{x^2 - 4}{x - 2}\).

Factorisons : \(rac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\), ce qui donne comme limite \(x o 2\) : \(x + 2 = 4\).

Les dérivées

Définition

La dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(a\) est la limite du taux d'accroissement lorsque \(x\) approche \(a\). Elle représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Notation

On note : \[ f'(a) \quad ext{ou} \quad rac{df}{dx}(a) \]

Formule

La dérivée en \(a\) est :

Exemples

• Pour \(f(x) = x^2\), la dérivée en \(x\) est \(f'(x) = 2x\).
• Pour \(f(x) = \sin x\), la dérivée est \(f'(x) = \cos x\).

Applications des dérivées

• Étudier la croissance, la décroissance d'une fonction.
• Déterminer les points où f'(x) = 0 (points critiques) qui peuvent être des maximums ou minimums.
• Calculer la tangente à la courbe en un point : éq. de la tangente :

\( y = f(a) + f'(a)(x - a) \)