Un angle orienté indique une rotation (sens et amplitude) à partir d'un demi‑droite de départ.

Angle orienté

Objectifs : comprendre la notion d'orientation, mesurer un angle orienté en degrés ou radians, repérer des angles coterminaux.

Notions clés

Définition

Angle orienté : donné par un couple de demi‑droites partageant une origine commune. On mesure la rotation de la demi‑droite initiale vers la demi‑droite finale en choisissant un sens positif (conventionnellement sens trigonométrique, c'est‑à‑dire sens anti‑horaire) et un sens négatif (horaire).

Étape 1 : la demi‑droite initiale OA (direction de référence).

Étape 2 : on place la demi‑droite finale OB (ici vers le haut‑droite).

Étape 3 : on trace l'arc orienté (sens anti‑horaire est positif) et on note la mesure α.

Mesure et unités

Deux unités principales :

degrés (°), un cercle = 360° ;
radians, un cercle = \(2\pi\) radians.

Conversion :

De degrés vers radians :

\[\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}\]

De radians vers degrés :

\[\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}\]

Angles coterminaux et périodicité

Deux angles sont coterminaux s'ils ont la même demi‑droite finale. On ajoute ou soustrait un tour entier :

En degrés : \(\alpha\) et \(\alpha + 360k\) donnent la même direction (\(k\in\mathbb{Z}\)).

En radians : \(\alpha\) et \(\alpha + 2\pi k\) sont coterminaux.

Question — quel angle est positif selon la convention trigonométrique ?

Une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre
Une rotation dans le sens trigonométrique (anti‑horaire)
Une rotation de plus de 180° seulement

La convention standard prend le sens anti‑horaire comme positif.

Exemples résolus

Exemple 1 — Mesurer un angle orienté simple

Soit OA l'axe des abscisses vers la droite et OB une demi‑droite formant 60° en sens anti‑horaire. Donner la mesure orientée.

Étape 1 : repérer le sens — OB est obtenu en tournant OA de 60° vers l'anti‑horaire, donc l'angle est positif.

Étape 2 : écrire la mesure — \(\alpha = 60^{\circ}\).

Étape 3 : en radians — utiliser \(\pi/180\) :

\[\alpha = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\text{ rad}\]

Voir la solution rapide

La mesure orientée est \(60^{\circ}\) soit \(\dfrac{\pi}{3}\) rad.

Exemple 2 — Coterminalité et angles négatifs

Trouver un angle coterminal à \(-45^{\circ}\) dans l'intervalle \([0^{\circ},360^{\circ}))\).

Étape 1 : ajouter 360° pour remonter dans l'intervalle positif.

Étape 2 : calcul :

\[ -45^{\circ} + 360^{\circ} = 315^{\circ} \]

Étape 3 : vérifier (coterminalité) : la demi‑droite finale est la même.

Voir la solution

Un représentant dans \([0,360)\) est \(315^{\circ}\) (ou \(\dfrac{7\pi}{4}\) rad).

Question — quel est l'équivalent en radians de \(315^{\circ}\) ?

\(\dfrac{5\pi}{4}\)
\(\dfrac{3\pi}{2}\)
\(\dfrac{7\pi}{4}\)

Calcul : \(315\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{4}\).

Erreurs fréquentes

Ne pas confondre degré et radian ; toujours indiquer l'unité.
Pour passer en radians, multiplier par \(\dfrac{\pi}{180}\) (et non pas diviser par 180 sans \(\pi\)).
Un angle de \(370^{\circ}\) est coterminal avec \(10^{\circ}\) car \(370-360=10\).

Question — convertissez correctement \(90^{\circ}\) en radians :

\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\pi\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)

\(90\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{2}\).

Récapitulatif

Un angle orienté indique amplitude et sens. Sens anti‑horaire = positif. Convertir degrés ↔ radians avec les facteurs \(\dfrac{\pi}{180}\) et \(\dfrac{180}{\pi}\). Angles coterminaux diffèrent d'un multiple de \(360^{\circ}\) ou \(2\pi\) rad.

Angle orienté

Rotation d'une demi‑droite vers une autre avec un sens (±) et une amplitude.

Degrés ↔ Radians

\(\theta_{rad}=\theta_{deg}\times\dfrac{\pi}{180}\), inverse pour radians→degrés.

Coterminal

Angles qui aboutissent à la même demi‑droite finale : \(\alpha+360k\) ou \(\alpha+2\pi k\).

Sens positif

Par convention, sens trigonométrique = anti‑horaire = positif.