Angles orientés et trigonométrie : Sinus, Cosinus, Tangente

1. Les angles orientés

Un angle orienté est défini par une demi-droite appelée urètre qui part d’un point d’origine et qui indique une direction. Il est caractérisé par un mesure de l’angle en degrés ou en radians et par son orientation.

2. La représentation dans le cercle unité

Le cercle unité est un cercle de centre O(0,0) et de rayon 1. Tout point M(x, y) sur le cercle vérifie \[ x^2 + y^2 = 1 \].

Un angle orienté \(\theta\) peut être représenté par le point \(P(x, y)\) sur le cercle unité, où :

• \(x = \cos \theta\)
• \(y = \sin \theta\)

3. Fonctions trigonométriques principales

Sinus (\(\sin\))

Dans le cercle unité, pour un angle \(\theta\), \(\sin \theta\) est la ordonnée du point \(P\) :

\[ \sin \theta = y \]

Cosinus (\(\cos\))

Le cosinus de \(\theta\) est l’abscisse du point \(P\) :

\[ \cos \theta = x \]

Tangente (\(\tan\))

La tangente est le rapport entre sinus et cosinus :

\[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \quad \text{pour} \quad \cos \theta \neq 0 \]

4. Résumé des relations

Fonction	Définition
\(\sin \theta\)	Ordonnée du point \(P\) sur le cercle unité
\(\cos \theta\)	Abscisse du point \(P\)
\(\tan \theta\)	\( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) (sauf si \(\cos \theta=0\))

5. Utilisations et précautions

• Ces fonctions permettent de déterminer les rapports dans un triangle rectangle ou dans le cercle unité.
• Attention à \(\cos \theta = 0\) pour la tangente, ce qui rend la valeur indéfinie.
• Les valeurs de sinus, cosinus et tangente varient selon le quadrant de l’angle.