Angles orientés et trigonométrie : Sinus, Cosinus, Tangente

Introduction

En géométrie, l'angle orienté se représente par une orientation sur un cercle unité. La trigonométrie permet d'associer des ratios aux angles, notamment avec le sinus, le cosinus et la tangente.

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine du plan. Tout point \(M\) de ce cercle peut être associé à un angle \(\theta\) : c'est l'angle orienté entre le rayon initial (axe des abscisses) et le rayon passant par \(M\).

Les fonctions trigonométriques

• Sinus (\(\sin \theta\)) : c'est la coordonnée en y du point \(M\) :

  \[\sin \theta = y\]

• Cosinus (\(\cos \theta\)) : c'est la coordonnée en x du point \(M\) :

  \[\cos \theta = x\]

• Tangente (\(\tan \theta\)) : rapport entre sin et cos :

  \[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\]

Propriétés importantes

• Pour tout \(\theta\), on a :

  \[\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\]

• La tangente est définie quand \(\cos \theta \neq 0\).
• Les valeurs de ces fonctions dépendent de l'angle dans chaque quadrant :

Résolution d'exemples

Exemple : si \(\theta = 30^\circ\), alors :

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
\[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

En radians, \(\theta = \frac{\pi}{6}\).

Conclusion

Les fonctions sinus, cosinus et tangente relient les angles à des ratios de longueurs dans le cercle unité. Elles sont essentielles en géométrie pour résoudre des problèmes liés aux angles et aux longueurs.