Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie — Sinus, cosinus, tangente

Niveau : 2nde — Thème : Angle orienté et trigonométrie. Ce cours présente les définitions, relations fondamentales et valeurs remarquables.

1. Angle orienté (rappel)

Un angle orienté est mesuré en radians (ou degrés) selon le sens positif (sens trigonométrique, inverse des aiguilles d'une montre). La mesure répond à l'addition : on peut additionner des angles et les exprimer modulo 2π.

Conversion : degré ↔ radian : 180° = π rad, donc 1° = π/180 rad et 1 rad = 180/π °.

2. Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Pour un point M(rayon 1) défini par l'angle orienté x (en radians) :

coordonnées de M : (cos x, sin x).
cos x = abscisse du point sur le cercle ; sin x = ordonnée.

3. Définitions

Pour tout réel x :

cosinus : cos x = abscisse du point du cercle trigonométrique associé à l'angle x.
sinus : sin x = ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à l'angle x.
tangente (si cos x ≠ 0) : tan x = sin x / cos x.

4. Relations fondamentales

Identité de Pythagore : cos²x + sin²x = 1 pour tout x.
tan x = sin x / cos x (définie si cos x ≠ 0).
parité : cos(-x) = cos x (cosinus est pair), sin(-x) = - sin x (sinus est impair), tan(-x) = - tan x.
périodicité : sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tan(x + π) = tan x.
formules d'addition (à connaître) :
- cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

5. Valeurs remarquables

Tableau des valeurs usuelles (angles principaux) :

Degrés	Radians	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	1/√3 (=√3/3)
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3
90°	π/2	1	0	non défini

Remarque : pour obtenir les valeurs dans d'autres quadrants, on utilise les signes (selon le signe de cos et sin) et les symétries du cercle.

6. Résolution d'équations trigonométriques simples

Exemples de formes courantes avec solutions générales :

sin x = a (avec |a| ≤ 1) → x = arcsin(a) + 2kπ ou x = π - arcsin(a) + 2kπ (k entier).
cos x = a (avec |a| ≤ 1) → x = arccos(a) + 2kπ ou x = -arccos(a) + 2kπ.
tan x = b → x = arctan(b) + kπ (k entier).

7. Exemples rapides

Ex. 1 : Calculer cos(π/4).

Réponse : cos(π/4) = √2/2.

Ex. 2 : Calculer sin(-π/6).

Utiliser l'impairité du sinus : sin(-π/6) = - sin(π/6) = -1/2.

Ex. 3 : Calculer tan(2π/3).

2π/3 = π - π/3 ; tan(π - θ) = - tan(θ). Donc tan(2π/3) = - tan(π/3) = -√3.

8. Exercices rapides (à faire)

Donner la valeur de sin(π/3), cos(3π/4) et tan(5π/6).
Résoudre sur [0,2π) : sin x = 1/2.
Convertir 150° en radians et calculer cos(150°).

9. Corrections (brefs résultats)

sin(π/3) = √3/2 ; cos(3π/4) = -√2/2 ; tan(5π/6) = -1/√3 = -√3/3.
sin x = 1/2 sur [0,2&pi:) → x = π/6 et x = 5π/6.
150° = (150·π/180) = 5π/6. cos(150°) = cos(5π/6) = -√3/2.