Appartenance, inclusion, intersection, complémentaire

Un ensemble est une collection d’objets bien définie : un élément lui appartient ou non (\(\in\)), un ensemble peut être contenu dans un autre (\(\subset\)), deux ensembles ont des éléments communs (\(\cap\)), et le complémentaire rassemble tout ce qui n’est pas dans l’ensemble.

Objectifs

Utiliser correctement les symboles \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\).
Déterminer l’intersection, la réunion et le complémentaire d’ensembles, et les représenter par un diagramme.
Faire le lien entre les opérations sur les ensembles et les connecteurs logiques « et », « ou », « non », « implique ».
Appliquer les lois de De Morgan et compter les éléments d’une réunion.

1. Ensemble et appartenance

Un ensemble est une collection d’objets, appelés ses éléments, définie de façon que l’on puisse toujours dire si un objet en fait partie ou non.

\(x \in A\) se lit « \(x\) appartient à \(A\) » ; \(x \notin A\) se lit « \(x\) n’appartient pas à \(A\) ».
On décrit un ensemble en extension (liste de ses éléments) : \(A = \{2 ; 4 ; 6 ; 8\}\), ou en compréhension (propriété caractéristique) : \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ pair et } 0 < x < 10\}\).
L’ensemble vide, noté \(\varnothing\), n’a aucun élément.
Le cardinal d’un ensemble fini \(A\), noté \(\operatorname{card}(A)\), est son nombre d’éléments.

Soit \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = 4\}\). Quelle écriture est correcte ?

\(A = \{2\}\)
\(A = \{-2 ; 2\}\)
\(A = \{4\}\)

Les entiers dont le carré vaut 4 sont \(-2\) et \(2\). Il ne faut oublier aucune solution.

2. Inclusion et parties d’un ensemble

On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), et on note \(A \subset B\), si tout élément de \(A\) est un élément de \(B\) :

\[ A \subset B \iff \big(\text{pour tout } x,\ x \in A \Rightarrow x \in B\big). \]

On dit aussi que \(A\) est une partie (ou un sous-ensemble) de \(B\). Pour montrer que \(A \not\subset B\), il suffit de trouver un seul élément de \(A\) qui n’est pas dans \(B\) (un contre-exemple).

Égalité : \(A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)\). C’est la méthode de la double inclusion.
Pour tout ensemble \(A\) : \(\varnothing \subset A\) et \(A \subset A\).
L’ensemble de toutes les parties de \(E\) se note \(\mathcal{P}(E)\). Si \(E\) a \(n\) éléments, \(\mathcal{P}(E)\) en a \(2^n\).

Exemple : si \(E = \{a ; b\}\), alors \(\mathcal{P}(E) = \{\varnothing ; \{a\} ; \{b\} ; \{a ; b\}\}\), soit \(2^2 = 4\) parties.

Combien de parties possède l’ensemble \(E = \{1 ; 2 ; 3\}\) ?

\(2^3 = 8\) : \(\varnothing\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\), \(\{1;2\}\), \(\{1;3\}\), \(\{2;3\}\) et \(E\) lui-même.

3. Intersection, réunion et complémentaire

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble de référence \(E\).

Intersection : \(A \cap B = \{x \in E \mid x \in A \text{ et } x \in B\}\). Si \(A \cap B = \varnothing\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints.
Réunion : \(A \cup B = \{x \in E \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\) (« ou » inclusif : l’un, l’autre ou les deux).
Complémentaire de \(A\) dans \(E\) : \(\complement_E A = \overline{A} = \{x \in E \mid x \notin A\}\).

À toi de légender ce diagramme : place chaque nom sur la bonne zone.

Propriétés utiles

\(A \cap B \subset A \subset A \cup B\).
\(\overline{\overline{A}} = A\), \(A \cap \overline{A} = \varnothing\), \(A \cup \overline{A} = E\).
Lois de De Morgan :

\[ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \qquad \text{et} \qquad \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \]

En logique : « non (P et Q) » équivaut à « (non P) ou (non Q) ».

Cardinal d’une réunion (ensembles finis) :

\[ \operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A \cap B) \]

Le complémentaire de \(A \cup B\) est égal à :

\(\overline{A} \cap \overline{B}\)
\(\overline{A} \cup \overline{B}\)
\(A \cap B\)

Ne pas être dans « A ou B », c’est n’être ni dans A ni dans B : être dans \(\overline{A}\) et dans \(\overline{B}\) (loi de De Morgan).

4. Exemples résolus

Exemple 1 : multiples de 2 et de 3

Soit \(E = \{1 ; 2 ; 3 ; \dots ; 10\}\), \(A\) l’ensemble des multiples de 2 de \(E\) et \(B\) l’ensemble des multiples de 3 de \(E\). Détermine \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(\overline{A}\), puis vérifie une loi de De Morgan.

En extension : \(A = \{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10\}\) et \(B = \{3 ; 6 ; 9\}\).

Éléments communs : \(A \cap B = \{6\}\).

Au moins dans l’un : \(A \cup B = \{2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10\}\).

Complémentaires : \(\overline{A} = \{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}\) et \(\overline{B} = \{1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10\}\).

De Morgan : \(\overline{A \cup B} = \{1 ; 5 ; 7\}\) et \(\overline{A} \cap \overline{B} = \{1 ; 5 ; 7\}\). Les deux ensembles sont bien égaux.

Exemple 2 : la classe sportive

Dans une classe de 40 élèves à Cotonou, 25 jouent au football, 18 au basket et 10 aux deux. Combien d’élèves pratiquent au moins un des deux sports ? Combien n’en pratiquent aucun ? Cherche d’abord !

Voir la solution

Notons \(F\) et \(B\) les ensembles des footballeurs et des basketteurs.

\[ \operatorname{card}(F \cup B) = 25 + 18 - 10 = 33 \]

33 élèves pratiquent au moins un sport. Ceux qui n’en pratiquent aucun forment \(\overline{F \cup B}\) :

\[ \operatorname{card}\big(\overline{F \cup B}\big) = 40 - 33 = 7 \]

On retire les 10 élèves comptés deux fois : sinon on trouverait 43, plus que l’effectif de la classe.

Exemple 3 : intersection d’intervalles

Détermine \(I \cap J\), \(I \cup J\) et le complémentaire de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), avec \(I = [-2 ; 5[\) et \(J = [3 ; 8]\).

Voir la solution

\(I \cap J = [3 ; 5[\) (les réels à la fois dans les deux intervalles) ; \(I \cup J = [-2 ; 8]\).

\(\overline{I} = \left]-\infty ; -2\right[ \cup \left[5 ; +\infty\right[\) : le réel 5 n’est pas dans \(I\), il est donc dans son complémentaire.

Avec \(A = \{1 ; 3 ; 5\}\) et \(B = \{2 ; 4\}\), que vaut \(A \cap B\) ?

\(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}\)
\(\varnothing\)
\(\{0\}\)

Aucun élément n’est commun : l’intersection est vide, \(A\) et \(B\) sont disjoints. Attention, \(\{0\}\) n’est pas vide, il contient 0.

5. Erreurs fréquentes

Quelle écriture est correcte ?

\(\{2\} \in \{1 ; 2\}\)
\(2 \subset \{1 ; 2\}\)
\(\varnothing \subset \{1 ; 2\}\)

L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Les deux autres mélangent élément et ensemble.

Récapitulatif

\(x \in A\) : un élément appartient à un ensemble ; \(A \subset B\) : une partie est incluse dans un ensemble.
\(A = B\) se prouve par double inclusion ; \(\mathcal{P}(E)\) a \(2^n\) éléments si \(\operatorname{card}(E) = n\).
\(\cap\) = « et », \(\cup\) = « ou », complémentaire = « non ».
De Morgan : \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) et \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\).
\(\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A \cap B)\).

Appartenance ∈

Relie un élément à un ensemble : x ∈ A signifie que x est un élément de A.

Inclusion ⊂

A ⊂ B si tout élément de A est dans B. Pour la nier, un contre-exemple suffit.

Intersection A ∩ B

Éléments qui sont dans A et dans B.

Complémentaire de A dans E

Éléments de E qui ne sont pas dans A.

Lois de De Morgan

Le complémentaire échange ∩ et ∪.