Applications à la résolution de problèmes
Équations et inéquations : applications à la résolution de problèmes
Pour résoudre un problème, on choisit l'inconnue, on traduit l'énoncé en équation ou en inéquation, on la résout, on vérifie, puis on répond par une phrase.
Objectifs
- Choisir une inconnue et traduire un énoncé par une équation ou une inéquation du premier degré.
- Résoudre une équation du type \(ax + b = cx + d\).
- Résoudre une inéquation du premier degré et représenter ses solutions.
- Vérifier la solution et rédiger une réponse qui a du sens dans le problème.
1. La méthode en cinq étapes
Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée \(x\). La résoudre, c'est trouver la ou les valeurs de \(x\) qui rendent l'égalité vraie. Pour un problème, on suit toujours la même démarche :
flowchart LR A[Choisir l inconnue] --> B[Mettre en équation] B --> C[Résoudre] C --> D[Vérifier] D --> E[Répondre par une phrase]
On peut se représenter une équation comme une balance en équilibre : ce que l'on fait d'un côté, on doit le faire de l'autre.
On enlève 150 F de chaque plateau : la balance reste en équilibre et il reste trois cahiers contre 900 F.
On partage chaque plateau en trois parts égales : un cahier pèse autant que 300 F.
Exemple résolu : le prix du cahier
Awa a payé \(1\,050\) F pour 3 cahiers identiques et un stylo à \(150\) F. Quel est le prix d'un cahier ?
Ibrahim achète 4 ampoules identiques et paie avec un billet de \(2\,000\) F. On lui rend \(400\) F. Quelle équation traduit la situation, si \(x\) est le prix d'une ampoule ?
2. Problèmes avec l'inconnue des deux côtés
Quand l'inconnue apparaît dans les deux membres, on regroupe les termes en \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre, en appliquant les règles de la balance.
Exemple résolu : les âges
Dans combien d'années le père de Moussa aura-t-il le double de l'âge de son fils ?
À toi : le champ rectangulaire
Un champ rectangulaire près de Bobo-Dioulasso a une longueur de \(5\) m de plus que sa largeur. Son périmètre mesure \(50\) m. Trouve ses dimensions. Cherche d'abord.
Voir la solution
Soit \(x\) la largeur en mètres ; la longueur vaut \(x + 5\).
\begin{align} 2\left(x + (x + 5)\right) &= 50 \\ 4x + 10 &= 50 \\ 4x &= 40 \\ x &= 10 \end{align}Vérification : largeur \(10\) m, longueur \(15\) m, périmètre \(2 \times (10 + 15) = 50\) m. Le champ mesure \(10\) m sur \(15\) m.
La somme de trois nombres entiers consécutifs vaut \(87\). Quel est le plus petit ?
3. Les inéquations : quand la réponse est « au plus » ou « au moins »
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, avec l'un des symboles \(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\). Ses solutions forment en général un ensemble de nombres. On la résout comme une équation, avec une règle supplémentaire :
Exemple résolu : les tickets de bus
On représente souvent les solutions sur une droite graduée : les crochets tournés vers les solutions indiquent que \(0\) et \(14\) sont inclus.
Quelles sont les solutions de \(-2x + 7 > 1\) ?
4. Comparer deux offres
Le graphique montre le prix payé en fonction du nombre d'heures \(x\) : la première droite pour A (règle son tarif horaire \(p\) avec le curseur), la seconde pour B. Là où la droite de B est en dessous, B est moins cher.
Exemple résolu
À partir de combien d'heures par mois le cybercafé B est-il strictement moins cher que A (avec \(p = 200\) F) ?
Un tailleur propose une tenue à \(8\,000\) F plus \(500\) F par broderie. Nadia ne veut pas dépasser \(11\,000\) F. Combien de broderies au plus ?
Erreurs fréquentes
- Ne pas préciser ce que représente \(x\) (et son unité) au début.
- Faire une opération d'un seul côté de l'équation : la balance n'est plus en équilibre.
- Oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif.
- Donner une solution impossible dans le contexte (un nombre de tickets non entier ou négatif) sans le remarquer.
- Oublier la vérification et la phrase de réponse.
Récapitulatif
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