Objectifs

• Comprendre comment représenter un système linéaire à l'aide d'une matrice.
• Utiliser la matrice associée pour résoudre un système avec la méthode de l'inversion ou par réduction.
• Relier transformations matricielles et résolution de systèmes.

Notions clés

• Matice augmentée
• Inverse d'une matrice
• Consistance d'un système
• Transformations matricielles
• Réseau de solutions

Représentation matricielle d’un système linéaire

Considérons un système à deux équations et deux inconnues :

  
  \begin{cases}
    a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \\
    a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2
  \end{cases}

Ce système peut s’écrire sous forme matricielle :

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1 \b_2\end{bmatrix}\]

On note la matrice des coefficients \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\), le vecteur inconnu \(X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\) et le vecteur constant \(B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\).

Résolution avec la matrice inverse

Si la matrice \(A\) est inversible (c’est-à-dire si son déterminant est différent de zéro), alors la solution s’obtient par :

\[X = A^{-1} \times B\]

où \(A^{-1}\) est l’inverse de \(A\). Le déterminant de \(A\) est :

\[\det(A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}\]

Exemple :

Applications et transformations

Les matrices modélisent aussi des transformations géométriques, comme le déplacement, la rotation ou la mise à l’échelle d’un point ou d’un objet. La résolution d’un système consiste à trouver le point qui vérifie toutes les équations simultanément, ce qui revient à trouver l’intersection de plusieurs transformations.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Un système linéaire à \(n\) inconnues peut être représenté par une matrice de coefficients, un vecteur inconnu et un vecteur constants.
• La solution s’obtient par l’inverse de la matrice, si elle existe.
• Les matrices permettent de modéliser aussi des transformations géométriques.

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