1. La vitesse instantanée

La dérivée d'une position \( s(t) \) par rapport au temps \( t \) permet de déterminer la vitesse instantanée à un instant donné. La vitesse \( v(t) \) est donnée par :

\[ v(t) = s'(t) \]

Exemple : si la position est donnée par \( s(t) = 5t^2 + 3 \), alors la vitesse est : \[ v(t) = rac{d}{dt} (5t^2 + 3) = 10t \]

2. Le coût marginal

Dans l'économie, si le coût total \( C(x) \) pour produire \( x \) unités est une fonction, le coût marginal \( C'(x) \) représente la variation du coût pour une unité supplémentaire. Il indique le coût additionnel :

\[ C'(x) = rac{dC}{dx} \]

Exemple : si \( C(x) = 100 + 20x + 0.5x^2 \), alors :

\[ C'(x) = 20 + x \]

3. L'optimisation

L'objectif est souvent de maximiser ou minimiser une fonction \( f(x) \). La dérivée \( f'(x) \) permet d’identifier les points critiques :

• Si \( f'(x) = 0 \), alors \( x \) est une valeur critique.
• Tester la nature de ces points (maximum, minimum) à l’aide de la dérivée seconde \( f''(x) \) :
• Si \( f''(x) > 0 \), c’est un minimum.
• Si \( f''(x) < 0 \), c’est un maximum.

Exemple : si \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \), la dérivée est :

\[ f'(x) = -4x + 4 \]

En résolvant : \[ -4x + 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Et la dérivée seconde : \[ f''(x) = -4 \], donc \( x=1 \) correspond à un maximum.