1. Introduction à la dérivation

La dérivée d'une fonction mesure sa variation instantanée. Elle est notée f'(x) ou ∂f/∂x, et se calcule à partir du taux de variation pour un point précis.

2. Vitesse instantanée

Dans un mouvement, la vitesse instantanée à une instant t est la dérivée de la position en fonction du temps :
v(t) = position'(t).

Exemple : si la position est donnée par s(t) = 3t^2 + 2, alors la vitesse instantanée en t est :
v(t) = 6t.

3. Coût marginal

Le coût marginal représente la variation du coût total lorsque la production augmente d'une unité. Si C(x) est le coût pour produire x unités, alors :

Coût marginal : C'(x)

Exemple : si C(x) = 100 + 2x + 0.5x^2, alors le coût marginal est :
C'(x) = 2 + x.

4. Optimisation

L'optimisation consiste à rechercher le maximum ou le minimum d'une fonction. La dérivée permet de repérer ces points critiqued en résolvant :

• f'(x) = 0 (points critiques)
• en vérifiant la dérivée secondaire ou la variation de f'(x)

Exemple : pour maximiser un profit P(x), on calcule P'(x), puis on cherche x tel que P'(x)=0, puis on étudie la concavité.

5. Résumé

La dérivée est un outil puissant pour analyser et optimiser des grandeurs en physique et économie. Elle permet de déterminer la vitesse instantanée, le coût marginal et de rechercher des points optimaux.