La dérivation permet de connaître la variation instantanée d'une grandeur.

Applications de la dérivation : vitesse, coût marginal, optimisation

Objectifs

Comprendre comment la dérivée permet d'analyser la vitesse instantanée.
Appliquer la dérivée au calcul du coût marginal en économie.
Utiliser la dérivation pour optimiser une situation (maximiser ou minimiser).

Notions clés

Vitesse instantanée : dérivée d'une position par rapport au temps.
Coût marginal : dérivée du coût total par rapport à la quantité produite.
Optimisation : recherche des extrema (maximum ou minimum) d'une fonction.

Exemple résolu : vitesse instantanée d\'une voiture

Une voiture dont la position en mètres est donnée par \( s(t) = 5t^2 + 2t \), avec \( t \) en secondes. Quelle est sa vitesse instantanée au temps \( t = 3s \) ?

Voir la solution

Calculer la dérivée : \( v(t) = \frac{d}{dt} (5t^2 + 2t) = 10t + 2 \).

Evaluer en \( t=3 \) : \( v(3) = 10 \times 3 + 2 = 30 + 2 = 32\, \text{m/s} \).

Exemple : coût marginal d\'une entreprise

Le coût total en euros pour produire q unités est \( C(q) = 3q^2 + 50 \). Quel est le coût marginal en \( q=10 \) ?

Voir la solution

Calculer la dérivée : \( C'(q) = 6q \).

Evaluer en \( q=10 \) : \( C'(10) = 6 \times 10 = 60\, \text{euros} \).

Erreurs fréquentes

Confondre la dérivée avec une simple différence : il faut utiliser la limite du taux de variation quand \( h \to 0 \).
Oublier d\'évaluer la dérivée en un point précis pour répondre à la question.
Ne pas vérifier si un point est un maximum ou un minimum en testant le signe de la dérivée avant et après.

Résumé

La dérivée est un outil puissant en mathématiques, permettant d\'analyser la vitesse d\'un objet, le coût d\'une production, ou de rechercher les points optimaux d\'une courbe. Elle se calcule par la limite du taux de variation instantané et s\'applique en toutes situations où la variation précise en un point est essentielle.

Mini-quiz

Quelle formule donne la vitesse instantanée d\'une position \( s(t) \) ?

\( s(t) \times t \)
\( \frac{d}{dt} s(t) \)
\( s(t + \Delta t) - s(t) \)

C\'est la dérivée de \( s(t) \), c\'est-à-dire \( \frac{d}{dt} s(t) \).

Cartes mémo

Dérivée

Taux de variation instantané d\'une fonction, noté \( f'(x) \) ou \( \frac{df}{dx} \).

Vitesse instantanée

Dérivée de la position par rapport au temps : \( v(t) = \frac{d}{dt} s(t) \).

Coût marginal

Dérivée du coût total : \( C'(q) \).

Optimisation

Trouver maximum ou minimum en utilisant \( f'(x) = 0 \).