Objectifs

• Comprendre ce qu’est la factorisation et quand elle s’applique.
• Identifier le facteur commun et les autres facteurs dans un polynôme.
• Résoudre des équations simples et des fractions en factorisant.
• Utiliser des identités premières et des méthodes de factorisation (facteur commun, différence de carrés, regroupement).

Notions clés

Définition : La factorisation est l’opération qui consiste à écrire une expression sous forme de produit de facteurs, en faisant apparaître des facteurs communs ou des polynômes portant les mêmes racines.

Notion 1 : Facteur commun

Si une expression présente un facteur commun, on le sort pour obtenir un produit plus simple. Par exemple, pour \(ax + ay\), on peut écrire \(ax + ay = a(x + y)\).

Exemple : \(ax + ay = a(x + y)\).

Notion 2 : Différence de carrés et autres identités simples

Différence de carrés : \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Autres identités utiles : \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) et \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

Notion 3 : Regroupement

On regroupe les termes pour faire apparaître un facteur commun. Exemple : \(2x^2 + 3x + x\) peut se réécrire en \(x(2x + 3) + 0\) puis factorisé en \(x(2x + 3)\).

Notion 4 : Produit nul et racines

Si un produit est nul, alors l’un des facteurs est nul. Par exemple, si \(P(x)=(x-1)(x+4)\), alors les racines sont \(x=1\) et \(x=-4\).

Notion 5 : Résumé pratique

• Chercher un facteur commun ou une différence de carrés.
• Vérifier en développant le produit obtenu.
• Utiliser les identités pour des expressions plus complexes.

Exemples résolus

Exemple 1 : Factoriser \(x^2+5x+6\).

Solution affichée : \[ x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) \]

Récapitulatif

• La factorisation consiste à écrire une expression sous forme produit de facteurs.
• On peut sortir un facteur commun et utiliser les identités usuelles.
• Le principe du produit nul permet de trouver les racines d’un polynôme factorisé.