Applications des dérivées : variations et extremums

Objectifs

Savoir déterminer si une fonction est croissante ou décroissante à l'aide de sa dérivée.
Identifier les extremums locaux (maximum ou minimum) d'une fonction.
Comprendre comment ces notions s'appliquent pour analyser le mouvement ou la forme d'une courbe.

Une fonction est croissante sur un intervalle si sa dérivée est positive : \( f'(x) > 0 \).
Elle est décroissante si sa dérivée est négative : \( f'(x) < 0 \).
Un extremum local (minimum ou maximum) se produit en un point où la dérivée change de signe.
Le point critique est une valeur de \( x \) où \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) n'est pas défini.

Considérons la fonction \( f(x) = -x^2 + 4x \).

Calculons sa dérivée :

Étape 1 : On dérive \( f(x) \) :

\[ f'(x) = -2x + 4 \]

Étape 2 : Pour déterminer les extrema, on résout \( f'(x) = 0 \) :

\[ -2x + 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

Analyse du signe de \( f'(x) \) :

Pour \( x < 2 \) : \( f'(x) > 0 \), la fonction est croissante.

Pour \( x > 2 \) : \( f'(x) < 0 \), la fonction est décroissante.

Conclusion : \( x=2 \) est un maximum local.

Voir la solution complète

Le maximum local se trouve en \( x=2 \), où la dérivée change de signe de positif à négatif, cohérent avec un pic.

Quelle est la nature de l'extrémité en \( x=2 \) ?

La dérivée passe de positive à négative, ce qui indique un maximum local.

Confondre points où \( f'(x) = 0 \) avec ceux où \( f'(x) \) n'existe pas.
Oublier de vérifier le signe de la dérivée à gauche et à droite du point critique.
Interpréter à tort la variation de la courbe.

Croissance

f'(x) > 0

Décroissance

f'(x) < 0

Point critique

f'(x) = 0 ou non défini

Extremum

Maximum ou minimum local où f'(x) change de signe