Les matrices permettent de résoudre efficacement des systèmes linéaires avec plusieurs équations et inconnues.

Applications des Matrices aux systèmes linéaires

Objectifs

Comprendre comment représenter un système linéaire à l'aide d'une matrice.
Utiliser la matrice pour résoudre un système par la méthode de l'inversion ou le développement par la règle de Cramer.
Interpréter géométriquement la solution d’un système à deux ou trois inconnues.

Notions clés

Matice augmentée
Déterminant
Matrice inverse
Règle de Cramer
Système compatible et compatible déterminé

Exemple résolu : Résolution d’un système 2x2 avec matrice

Considérons le système :

  \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

Ce système peut s’écrire sous forme matricielle :

On écrit la matrice des coefficients :

A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

Et le vecteur des termes constants :

B = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

La solution \((x, y)\) s’obtient si on calcule :

\vect{x} = A^{-1} B

Calculons la matrice inverse :

Calcul du déterminant : \( \det A = (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3 \)

Inverse de A :

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

Calcul de \(\vect{x}\) :

\vect{x} = A^{-1} B = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Effectuons la multiplication :

\begin{bmatrix} (-1)(5) + (-1)(1) \\ (-1)(5) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 - 1 \\ -5 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ -3 \end{bmatrix}

Donc \(\vect{x} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -6 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)

La solution du système est :

x = 2 et y = 1.

Voir la solution complète étape par étape

Suivez les calculs étape par étape expliqués ci-dessus pour comprendre la méthode.

Mini-quiz : Quel est le déterminant de la matrice A ?

Quelle est la valeur du déterminant \( \det A \) ?

-3
3
0

Le déterminant est calculé comme (2)(-1)-(1)(1) = -3

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que le déterminant est différent de zéro avant d’inverser la matrice.
Confondre la place des termes lors de la multiplication de la matrice inverse par le vecteur.
Ne pas réduire la solution à ses formes simplifiées.

Résumé

Les matrices offrent un outil puissant pour résoudre rapidement et efficacement des systèmes linéaires. En utilisant la matrice des coefficients, le déterminant, et la matrice inverse (si elle existe), on peut déterminer la solution d’un système à plusieurs inconnues.

Cartes mémo

Matrice augmentée

Représentation du système sous forme de deux matrices côte à côte : coefficients et termes constants.

Déterminant

Valeur numérique qui permet d'analyser si la matrice est inversible (différente de zéro) ou non.

Matrice inverse

Matrice qui, multipliée par la matrice initiale, donne la matrice identité et permet de résoudre le système.

Règle de Cramer

Méthode utilisant le déterminant pour trouver chaque inconnue : \( x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \).