Objectifs

• Comprendre ce qu’est une puissance et comment l’écrire (notation \(a^n\)).
• Utiliser les règles de calcul des puissances : multiplication, puissance d’une puissance, produit d’un produit, division, et puissance de zéro.
• Appliquer les puissances dans des situations concrètes (aire, volume, échelle) et résoudre des exercices simples.

Notions clés

Définitions et règles essentielles :

• Puissance: pour un nombre \(a\) non nul et un entier \(n\ge 0\), la puissance est notée \(a^n\) et représente le produit de \(a\) par lui-même \(n\) fois.
• Règles usuelles:
  • \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  • \((a^m)^n = a^{mn}\)
  • \((ab)^n = a^n b^n\)
  • \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) pour \(b\neq 0\)
  • \(a^0 = 1\) (pour \(a\neq 0\))

Exemples résolus

Exemple 1: appliquer la règle des puissances sur une puissance d’une puissance.

Conclusion: \( (3^2)^3 = 729 \).

Exemple 2 (application): Utiliser \(A' = k^2 \cdot A\) pour l’aire lorsqu’on agrandit d’un facteur \(k\).

Rappel饗 : lorsque l’on agrandit une figure par un facteur \(k\), son aire est multipliée par \(k^2\) et son volume par \(k^3\) si c’est une extension en trois dimensions.

Erreurs fréquentes

• Ajouter les exposants lors d'un produit de bases différentes sans regrouper les puissances : on oublie que les bases doivent être identiques pour la règle \(a^m a^n\).
• Oublier que \(a^0 = 1\) n’est vrai que pour \(a\neq 0\).
• Confondre puissance et racine: une puissance est une multiplication répétée, une racine est l’opération inverse.

Récapitulatif

• Notation: \(a^n\) signifie multiplier \(a\) par lui-même \(n\) fois.
• Règles:
  • \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}
  • \((a^m)^n = a^{mn}
  • \((ab)^n = a^n b^n
  • \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
  • \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\))
• Applications: aire évolue avec \(k^2\), volume avec \(k^3\) lorsque l’on agrandit une figure de facteur \(k\).

Mini-quiz

Cartes mémo

Schéma: carré et aire

Graphique interactif (exemple)