Applications des vecteurs

Avec les coordonnées des vecteurs, quelques calculs simples suffisent pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, ou que deux segments ont la même longueur.

Objectifs

Calculer les coordonnées d'un vecteur et la longueur d'un segment dans un repère orthonormé.
Utiliser l'égalité de deux vecteurs pour reconnaître un parallélogramme.
Utiliser la colinéarité pour démontrer un parallélisme ou un alignement.
Utiliser l'orthogonalité pour démontrer une perpendicularité.
Comparer des longueurs pour démontrer une égalité de segments.

1. Rappels : coordonnées d'un vecteur et distance

Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), on considère deux points \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\).

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\]
La distance \(AB\) (longueur du segment) est : \[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
Le milieu \(K\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées : \[K\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)\]

Avec \(A(2 ; -1)\) et \(B(5 ; 3)\), quelles sont les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) ?

\((-3 ; -4)\)
\((3 ; 4)\)
\((7 ; 2)\)

\(x_B - x_A = 5 - 2 = 3\) et \(y_B - y_A = 3 - (-1) = 4\). Et la distance vaut \(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).

2. Égalité de vecteurs : reconnaître un parallélogramme

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes coordonnées. Propriété :

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1 ; 2)\), \(B(4 ; 3)\), \(C(5 ; 6)\) et \(D(2 ; 5)\). Démontre que \(ABCD\) est un parallélogramme. Cherche d'abord, puis suis la construction.

On calcule \(\overrightarrow{AB}\) : \(4 - 1 = 3\) et \(3 - 2 = 1\), donc \(\overrightarrow{AB}(3 ; 1)\).

On calcule \(\overrightarrow{DC}\) : \(5 - 2 = 3\) et \(6 - 5 = 1\), donc \(\overrightarrow{DC}(3 ; 1)\). Les deux flèches sont identiques.

Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme : ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Exemple résolu : trouver le quatrième sommet

On donne \(E(-2 ; 1)\), \(F(3 ; 0)\) et \(G(4 ; 4)\). Trouve les coordonnées de \(H\) pour que \(EFGH\) soit un parallélogramme.

Étape 1 : \(EFGH\) est un parallélogramme si \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}\).

Étape 2 : \(\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{HG}\begin{pmatrix} 4 - x_H \\ 4 - y_H \end{pmatrix}\).

Étape 3 : on résout \(4 - x_H = 5\), donc \(x_H = -1\) ; et \(4 - y_H = -1\), donc \(y_H = 5\).

Étape 4 : conclusion \(H(-1 ; 5)\). Vérification : \(\overrightarrow{HG}(4 - (-1) ; 4 - 5) = (5 ; -1)\). ✔

On sait que \(\overrightarrow{MN}(2 ; 5)\) et \(\overrightarrow{QP}(2 ; 5)\). Que peut-on conclure ?

\(MNPQ\) est un parallélogramme
\(MNQP\) est un parallélogramme
Les points \(M\), \(N\), \(P\) sont alignés

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}\) correspond au modèle \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) avec \(A = M\), \(B = N\), \(C = P\), \(D = Q\) : c'est \(MNPQ\) (on respecte l'ordre des lettres).

3. Colinéarité : parallélisme et alignement

Deux vecteurs \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x' ; y')\) sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire :

\[x y' - x' y = 0\]

Analogie : deux droites parallèles, c'est comme deux routes qui ont la même « pente ». Joue avec les curseurs : les deux droites sont parallèles exactement quand leurs coefficients directeurs \(a\) et \(c\) sont égaux.

Exemple résolu : trois points alignés ?

On donne \(E(-1 ; 1)\), \(F(1 ; 2)\) et \(G(5 ; 4)\). Ces trois points sont-ils alignés ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\[\begin{align} \overrightarrow{EF} &= \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{EG} &= \begin{pmatrix} 5 - (-1) \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \\ 2 \times 3 - 6 \times 1 &= 6 - 6 = 0 \end{align}\]

Les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EG}\) sont colinéaires (d'ailleurs \(\overrightarrow{EG} = 3\,\overrightarrow{EF}\)), donc \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.

Les vecteurs \(\vec{u}(4 ; -2)\) et \(\vec{v}(-6 ; 3)\) sont-ils colinéaires ?

Non, car \(4 \times (-6) + (-2) \times 3 \neq 0\)
Non, car ils n'ont pas le même sens
Oui, car \(4 \times 3 - (-6) \times (-2) = 0\)

\(4 \times 3 = 12\) et \((-6) \times (-2) = 12\), donc \(x y' - x' y = 12 - 12 = 0\) : ils sont colinéaires (de sens contraires, ce qui est permis).

4. Orthogonalité : démontrer une perpendicularité

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x' ; y')\) sont orthogonaux lorsque :

\[x x' + y y' = 0\]

Exemple résolu : un triangle rectangle

On donne \(A(1 ; 1)\), \(B(5 ; 3)\) et \(C(0 ; 3)\). Démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Cherche d'abord.

Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(5 - 1 ; 3 - 1) = (4 ; 2)\) et \(\overrightarrow{AC}(0 - 1 ; 3 - 1) = (-1 ; 2)\).

Étape 2 : \(x x' + y y' = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\).

Étape 3 : les vecteurs sont orthogonaux, donc \((AB) \perp (AC)\) : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

Étape 4 (vérification avec Pythagore) : \(AB^2 = 4^2 + 2^2 = 20\), \(AC^2 = (-1)^2 + 2^2 = 5\), \(BC^2 = (-5)^2 + 0^2 = 25\), et \(20 + 5 = 25\). ✔

Les vecteurs \(\vec{u}(3 ; -2)\) et \(\vec{v}(4 ; 6)\) sont-ils orthogonaux ?

Non, car \(3 \times 6 - 4 \times (-2) \neq 0\)
Oui, car \(3 \times 4 + (-2) \times 6 = 0\)
On ne peut pas savoir sans dessin

\(3 \times 4 = 12\) et \((-2) \times 6 = -12\) : la somme fait \(0\), donc les vecteurs sont orthogonaux.

5. Égalité de longueurs : losange, triangle isocèle, cercle

Pour démontrer que deux segments ont la même longueur, on calcule chaque distance avec la formule \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) et on compare.

Exemple résolu : le parallélogramme est-il un losange ?

On reprend \(A(1 ; 2)\), \(B(4 ; 3)\), \(C(5 ; 6)\), \(D(2 ; 5)\). On a montré que \(ABCD\) est un parallélogramme. Est-ce un losange ? Est-ce un rectangle ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\[\begin{align} AB^2 &= 3^2 + 1^2 = 10 \\ \overrightarrow{AD} &= (2 - 1 ; 5 - 2) = (1 ; 3), \quad AD^2 = 1^2 + 3^2 = 10 \end{align}\]

\(AB = AD = \sqrt{10}\) : deux côtés consécutifs ont la même longueur, donc le parallélogramme \(ABCD\) est un losange.

Rectangle ? On teste l'orthogonalité de \(\overrightarrow{AB}(3 ; 1)\) et \(\overrightarrow{AD}(1 ; 3)\) : \(3 \times 1 + 1 \times 3 = 6 \neq 0\), donc \((AB)\) et \((AD)\) ne sont pas perpendiculaires : ce n'est pas un rectangle (donc pas un carré).

Avec \(O(0 ; 0)\), \(P(3 ; 4)\) et \(Q(5 ; 0)\), le triangle \(OPQ\) est :

isocèle en \(O\), car \(OP = OQ = 5\)
rectangle en \(O\)
équilatéral

\(OP = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) et \(OQ = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5\). En revanche \(PQ = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \neq 5\), donc il n'est pas équilatéral.

Méthode : quel outil pour quelle question ?

flowchart LR
    Q[Que veux-tu prouver] --> P1[Parallelogramme]
    Q --> P2[Parallelisme ou alignement]
    Q --> P3[Perpendicularite]
    Q --> P4[Meme longueur]
    P1 --> R1[Vecteurs egaux]
    P2 --> R2[Produit en croix nul]
    P3 --> R3[Somme des produits nulle]
    P4 --> R4[Formule de la distance]

Erreurs fréquentes

Calculer \(x_A - x_B\) au lieu de \(x_B - x_A\) pour \(\overrightarrow{AB}\).
Écrire \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) pour le parallélogramme \(ABCD\) : la bonne égalité est \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Confondre les deux tests : \(x y' - x' y = 0\) (colinéaires) et \(x x' + y y' = 0\) (orthogonaux).
Oublier les parenthèses avec les nombres négatifs : \((-1)^2 = 1\), pas \(-1\).
Utiliser le test d'orthogonalité dans un repère qui n'est pas orthonormé.

Récapitulatif

\(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)\) et \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme.
\(x y' - x' y = 0\) : vecteurs colinéaires, donc droites parallèles ou points alignés.
\(x x' + y y' = 0\) (repère orthonormé) : vecteurs orthogonaux, donc droites perpendiculaires.
Distances égales : losange, triangle isocèle, points sur un même cercle.

Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

\((x_B - x_A ; y_B - y_A)\) : arrivée moins départ.

Parallélogramme \(ABCD\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Vecteurs colinéaires

\(x y' - x' y = 0\) : parallélisme ou alignement.

Vecteurs orthogonaux

\(x x' + y y' = 0\) dans un repère orthonormé : perpendicularité.

Distance \(AB\)

\(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)