Applications de la quantité de mouvement : rebond, recul et propulsion

Rebond d'un ballon, recul d'une pirogue, décollage d'une fusée : dans tous ces cas, on explique le mouvement avec la quantité de mouvement \(\vec{p} = m\vec{v}\), sa conservation dans un système isolé et la relation \(\Delta p = F \times \Delta t\).

Objectifs

Rappeler la quantité de mouvement \(\vec{p} = m\vec{v}\) et la relation \(\Delta p = F \times \Delta t\).
Calculer la variation de quantité de mouvement lors d'un rebond et la force moyenne exercée.
Expliquer le recul et la propulsion par la conservation de la quantité de mouvement.
Comprendre pourquoi allonger la durée d'un choc protège (casque, airbag, gants, sable).

1. Rappels essentiels

Quantité de mouvement : \(\vec{p} = m\vec{v}\), en \(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\). Sur un axe, \(p = m\,v\) avec le signe de la vitesse.
Une force constante \(F\) qui agit pendant \(\Delta t\) change la quantité de mouvement : \(\Delta p = F \times \Delta t\).
Pour un système isolé ou pseudo-isolé : \(\vec{p}_{\text{total avant}} = \vec{p}_{\text{total après}}\).

Un pousse-pousse de \(150\ \text{kg}\) roule à \(2\ \text{m/s}\). Quelle est sa quantité de mouvement ?

\(300\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(75\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(152\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)

\(p = m\,v = 150 \times 2 = 300\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\) : on multiplie la masse par la vitesse.

2. Le rebond

Pourquoi un rebond change beaucoup \(p\)

Sur un axe orienté vers le mur, la vitesse est positive à l'aller et négative au retour. La variation de quantité de mouvement vaut :

\[ \Delta p = m\,v_{\text{après}} - m\,v_{\text{avant}} \]

Comme \(v_{\text{après}}\) est négative, \(\Delta p\) est grande : un rebond change plus la quantité de mouvement qu'un simple arrêt. Si la balle repart avec la même vitesse \(v\), on a même \(\Delta p = -2\,m\,v\).

Avant le choc : la balle va vers le mur, sa vitesse est positive sur l'axe (+10 m/s).

Pendant le contact : le mur exerce sur la balle une force dirigée vers la gauche, qui la freine puis la relance.

Après le choc : la balle repart vers la gauche, sa vitesse est négative (−8 m/s).

Exemple résolu 1

Une balle de tennis de \(0{,}06\ \text{kg}\) arrive sur le mur à \(10\ \text{m/s}\) et repart à \(8\ \text{m/s}\). Le contact dure \(0{,}004\ \text{s}\). Calcule \(\Delta p\) puis la force moyenne exercée par le mur.

Cherche d'abord, puis vois la solution

Étape 1 : axe orienté vers le mur. \(p_{\text{avant}} = 0{,}06 \times 10 = 0{,}6\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Étape 2 : \(p_{\text{après}} = 0{,}06 \times (-8) = -0{,}48\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Étape 3 : \(\Delta p = -0{,}48 - 0{,}6 = -1{,}08\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).

Étape 4 : \(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{-1{,}08}{0{,}004} = -270\ \text{N}\). La force vaut 270 N et elle est dirigée vers l'arrière (signe moins).

Une balle de \(0{,}1\ \text{kg}\) arrive à \(5\ \text{m/s}\) sur un mur et repart à \(5\ \text{m/s}\). Que vaut \(|\Delta p|\) ?

\(0\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(0{,}5\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)
\(1\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\)

\(\Delta p = 0{,}1 \times (-5) - 0{,}1 \times 5 = -1\), donc \(|\Delta p| = 2\,m\,v = 1\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\). Même vitesse en valeur, mais le sens a changé.

3. Amortir un choc : allonger la durée

D'après \(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\), pour une même variation \(\Delta p\), une durée \(\Delta t\) plus longue donne une force \(F\) plus petite. Fais varier \(\Delta p\) avec le curseur et observe la force (en N) en fonction de la durée du choc \(x\) (en millisecondes).

Pour une même variation \(\Delta p\), la durée du choc passe de \(4\ \text{ms}\) à \(40\ \text{ms}\). La force moyenne :

est multipliée par 10.
est divisée par 10.
ne change pas.

\(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\) : si \(\Delta t\) est multipliée par 10, \(F\) est divisée par 10. Vérifie sur le graphique entre \(x = 4\) et \(x = 40\).

4. Le recul : quand on pousse, on est poussé

Au départ, le pêcheur et la pirogue sont immobiles : \(p_{\text{total}} = 0\). Le système {pêcheur + pirogue} est pseudo-isolé horizontalement (on néglige les frottements de l'eau pendant le saut). Après le saut, la quantité de mouvement totale vaut toujours 0 :

\[ m_{\text{pêcheur}}\,v_{\text{pêcheur}} + M_{\text{pirogue}}\,V_{\text{pirogue}} = 0 \quad \text{donc} \quad V_{\text{pirogue}} = -\frac{m_{\text{pêcheur}}\,v_{\text{pêcheur}}}{M_{\text{pirogue}}} \]

Le signe moins montre que la pirogue part dans le sens opposé.

Avant le saut : le pêcheur et la pirogue sont immobiles, la quantité de mouvement totale est nulle.

Après le saut : le pêcheur part vers la berge, et la pirogue part en sens inverse pour que le total reste nul.

Exemple résolu 2

Un pêcheur de \(60\ \text{kg}\) saute horizontalement à \(2\ \text{m/s}\) d'une pirogue immobile de \(120\ \text{kg}\). Quelle est la vitesse de recul de la pirogue ?

Cherche d'abord, puis vois la solution

Étape 1 : axe orienté vers la berge ; \(p_{\text{avant}} = 0\).

Étape 2 : \(p_{\text{après}} = 60 \times 2 + 120 \times V = 0\).

Étape 3 : \(V = -\dfrac{120}{120} = -1\ \text{m/s}\). La pirogue recule à 1 m/s, vers le large.

Sur des rollers, Kofi (\(60\ \text{kg}\)) et Awa (\(40\ \text{kg}\)), immobiles face à face, se repoussent. Kofi part à \(1\ \text{m/s}\). À quelle vitesse part Awa ?

\(1{,}5\ \text{m/s}\) en sens opposé
\(1\ \text{m/s}\) en sens opposé
\(0{,}67\ \text{m/s}\) dans le même sens

\(60 \times 1 + 40\,v = 0\), donc \(v = -\dfrac{60}{40} = -1{,}5\ \text{m/s}\). La plus légère part plus vite, en sens opposé.

5. La propulsion : avancer en éjectant de la matière

flowchart LR
  A[Systeme immobile p total nul] --> B[Ejection de gaz vers l arriere]
  B --> C[Gaz p vers l arriere]
  C --> D[Total reste nul]
  D --> E[Fusee p vers l avant]

La propulsion par réaction ne demande pas d'appui sur l'air ou sur le sol : c'est pour cela qu'une fusée peut accélérer dans l'espace, où il n'y a pas d'air. Le même principe explique l'avancée d'un calmar qui chasse l'eau, ou le recul d'un tuyau d'arrosage lâché.

Exemple résolu 3

Une petite fusée de \(500\ \text{kg}\), immobile dans l'espace, éjecte d'un coup \(2\ \text{kg}\) de gaz à \(1\,000\ \text{m/s}\) vers l'arrière. Quelle vitesse prend la fusée (masse restante \(498\ \text{kg}\)) ?

Cherche d'abord, puis vois la solution

Étape 1 : axe orienté vers l'avant de la fusée ; \(p_{\text{avant}} = 0\).

Étape 2 : \(2 \times (-1\,000) + 498 \times V = 0\).

Étape 3 : \(V = \dfrac{2\,000}{498} \approx 4{,}0\ \text{m/s}\), vers l'avant. En répétant l'éjection des milliers de fois, la fusée accélère beaucoup.

Pourquoi une fusée peut-elle accélérer dans l'espace, où il n'y a pas d'air ?

Parce que les gaz prennent appui sur l'air.
Parce que les gaz éjectés vers l'arrière emportent une quantité de mouvement, et la fusée gagne la même vers l'avant.
Parce qu'il n'y a pas de pesanteur dans l'espace.

La propulsion vient de la conservation de la quantité de mouvement du système {fusée + gaz}, pas d'un appui extérieur.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Rebond : \(\Delta p = m\,v_{\text{après}} - m\,v_{\text{avant}}\), avec les signes ; si la vitesse est inchangée en valeur, \(|\Delta p| = 2\,m\,v\).
Force moyenne d'un choc : \(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\) ; allonger \(\Delta t\) réduit \(F\).
Recul : partant du repos, \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0\), les deux corps partent en sens opposés.
Propulsion : en éjectant de la matière vers l'arrière, on gagne une quantité de mouvement vers l'avant.

Variation au rebond

\(\Delta p = m\,v_{\text{après}} - m\,v_{\text{avant}}\), vitesses avec leur signe.

Force moyenne d'un choc

\(F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}\)

Amortir un choc

Allonger \(\Delta t\) (casque, airbag, sable) pour diminuer \(F\).

Recul

Départ au repos : \(m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0\), mouvements opposés.

Propulsion par réaction

Matière éjectée vers l'arrière, engin propulsé vers l'avant ; aucun appui nécessaire.