Applications du PPCM : engrenages et phénomènes périodiques

Quand deux choses tournent ou se répètent à des rythmes différents (deux roues dentées, deux cars, deux marchés), elles se retrouvent ensemble au bout d'un temps égal au PPCM de leurs deux rythmes.

Objectifs

Rappeler ce que sont les multiples communs et le PPCM de deux nombres entiers.
Calculer un PPCM par la liste des multiples ou par la décomposition en facteurs premiers.
Résoudre un problème d'engrenages : au bout de combien de dents et de tours deux repères se retrouvent face à face.
Résoudre un problème de phénomènes périodiques : quand deux événements qui se répètent se produisent de nouveau en même temps.
Savoir quand utiliser le PPCM et quand utiliser le PGCD.

1. Rappel : multiples communs et PPCM

Un multiple de \(a\) est un nombre de la forme \(a \times k\) avec \(k\) entier : les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16…
Un multiple commun de \(a\) et \(b\) est un nombre qui est à la fois multiple de \(a\) et de \(b\).
Le PPCM (plus petit commun multiple) de \(a\) et \(b\) est le plus petit multiple commun non nul. On le note \(\text{PPCM}(a\,;b)\).

Méthode 1 : lister les multiples

Pour \(\text{PPCM}(4\,;6)\) : multiples de 6 : 6, 12… ; 12 est aussi multiple de 4, donc \(\text{PPCM}(4\,;6) = 12\).

Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers

On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on prend chaque facteur premier qui apparaît, avec son plus grand exposant.

flowchart LR
A[Décomposer a et b] --> B[Lister tous les facteurs premiers]
B --> C[Garder le plus grand exposant]
C --> D[Multiplier pour obtenir le PPCM]

Exemple résolu. Calcule \(\text{PPCM}(12\,;18)\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On décompose : \(12 = 2^2 \times 3\) et \(18 = 2 \times 3^2\).

Facteurs premiers présents : 2 et 3. Plus grand exposant de 2 : \(2^2\) ; plus grand exposant de 3 : \(3^2\).

\[\text{PPCM}(12\,;18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\]

Vérification : \(36 = 12 \times 3\) et \(36 = 18 \times 2\). C'est bien un multiple commun, et aucun nombre plus petit ne convient (12, 24 ne sont pas multiples de 18).

Vérifions avec 12 et 18 : \(\text{PGCD}(12\,;18) = 6\) et \(6 \times 36 = 216 = 12 \times 18\).

Combien vaut le PPCM de 9 et 12 ?

\(9 = 3^2\) et \(12 = 2^2 \times 3\), donc \(\text{PPCM} = 2^2 \times 3^2 = 36\). 3 est le PGCD, et 108 est un multiple commun mais pas le plus petit.

2. Les engrenages

On marque d'un point rouge une dent de la roue A et une dent de la roue B, placées face à face. On fait tourner. Question : quand les deux repères seront-ils de nouveau face à face ?

Au départ, les deux dents marquées sont face à face, au point de contact.

Le repère de A revient au contact tous les 12 dents, celui de B tous les 18 dents : ils se retrouvent ensemble après 36 dents, le PPCM de 12 et 18.

Exemple résolu. Une roue A a 15 dents et une roue B en a 25. Au bout de combien de tours de chaque roue les repères seront-ils de nouveau face à face ? Cherche d'abord.

Voir la solution

\(15 = 3 \times 5\) et \(25 = 5^2\), donc \(\text{PPCM}(15\,;25) = 3 \times 5^2 = 75\).

\[\frac{75}{15} = 5 \text{ tours pour A}, \qquad \frac{75}{25} = 3 \text{ tours pour B}.\]

Les repères se retrouvent après 75 dents : 5 tours de A et 3 tours de B.

Une roue de 8 dents entraîne une roue de 15 dents. Après combien de dents les repères se retrouvent-ils face à face ?

8 et 15 n'ont aucun facteur premier commun (premiers entre eux), donc \(\text{PPCM} = 8 \times 15 = 120\). La petite roue fait 15 tours, la grande 8 tours.

3. Les phénomènes périodiques

Un phénomène périodique se répète toujours après la même durée, appelée période : un car qui part toutes les 40 minutes, un phare qui clignote toutes les 6 secondes, un médicament à prendre toutes les 8 heures.

Exemple résolu. À la gare routière de Bamako, deux cars partent ensemble à 6 h. Le car pour Ségou part toutes les 40 minutes, le car pour Sikasso toutes les 60 minutes. À quelle heure partiront-ils de nouveau ensemble ?

On cherche \(\text{PPCM}(40\,;60)\). On décompose : \(40 = 2^3 \times 5\) et \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\).

\[\text{PPCM}(40\,;60) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120 \text{ min}\]

120 minutes = 2 heures. Les cars repartent ensemble à \(6 \text{ h} + 2 \text{ h} = 8 \text{ h}\), puis à 10 h, 12 h…

Vérification : 120 = 40 × 3 (3e départ suivant pour Ségou) et 120 = 60 × 2 (2e départ suivant pour Sikasso).

À toi. Deux phares clignotent ensemble. L'un s'allume toutes les 6 secondes, l'autre toutes les 8 secondes. Combien de fois s'allument-ils ensemble en 2 minutes (sans compter l'instant de départ) ?

Voir la solution

\(6 = 2 \times 3\) et \(8 = 2^3\), donc \(\text{PPCM}(6\,;8) = 2^3 \times 3 = 24\) s.

2 minutes = 120 s et \(120 \div 24 = 5\). Ils s'allument ensemble 5 fois : à 24 s, 48 s, 72 s, 96 s et 120 s.

Kouni prend un comprimé toutes les 6 heures et un sirop toutes les 4 heures. Elle prend les deux à 8 h. Quand les reprendra-t-elle ensemble ?

À 20 h
À 18 h
À 10 h

\(\text{PPCM}(6\,;4) = 12\) heures, et \(8 \text{ h} + 12 \text{ h} = 20 \text{ h}\).

4. PPCM ou PGCD ? Bien choisir

PGCD : partager, découper, répartir « le plus possible » ou « le plus grand possible ». Le résultat est plus petit que les nombres de départ.
PPCM : se rencontrer de nouveau, coïncider, « la prochaine fois ensemble ». Le résultat est plus grand (ou égal) que les nombres de départ.

Un problème dit : « Deux coureurs partent ensemble ; l'un fait un tour de piste en 72 s, l'autre en 90 s. Quand repassent-ils ensemble sur la ligne de départ ? » Quel outil utiliser ?

Le PGCD de 72 et 90
Le PPCM de 72 et 90
La somme 72 + 90

On cherche une prochaine rencontre, donc un multiple commun : \(72 = 2^3 \times 3^2\), \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\), \(\text{PPCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360\) s, soit 6 minutes.

Récapitulatif

\(\text{PPCM}(a\,;b)\) : le plus petit multiple commun non nul de \(a\) et \(b\) ; par décomposition, chaque facteur premier avec son plus grand exposant.
Engrenages de \(a\) et \(b\) dents : repères face à face après \(\text{PPCM}(a\,;b)\) dents, soit \(\frac{\text{PPCM}}{a}\) tours de A et \(\frac{\text{PPCM}}{b}\) tours de B.
Phénomènes de périodes \(a\) et \(b\) : ils coïncident de nouveau après \(\text{PPCM}(a\,;b)\), puis à chacun de ses multiples.
Rendez-vous → PPCM ; partage → PGCD.

PPCM

Plus petit multiple commun non nul de deux entiers.

Calcul du PPCM

Décomposer en facteurs premiers et garder chaque facteur avec son plus grand exposant.

Engrenages

Rencontre des repères après PPCM dents ; tours = PPCM divisé par le nombre de dents.

Phénomène périodique

Se répète après une durée fixe, la période ; deux phénomènes coïncident tous les PPCM des périodes.

PPCM ou PGCD ?

Se retrouver plus tard : PPCM. Partager ou découper : PGCD.