Racine carrée : applications géométriques

Le théorème de Pythagore donne le carré d'une longueur ; la racine carrée permet ensuite de retrouver la longueur elle-même, dans un triangle rectangle comme dans un repère.

Objectifs

Calculer la longueur de l'hypoténuse ou d'un côté de l'angle droit avec le théorème de Pythagore et la racine carrée.
Donner le résultat en valeur exacte (racine simplifiée) ou en valeur approchée, selon la consigne.
Calculer la diagonale d'un carré ou d'un rectangle.
Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.

1. Rappel : le théorème de Pythagore

Repère les parties du triangle

Le triangle \(ABC\) ci-dessous est rectangle en \(A\). Place chaque nom au bon endroit.

Avec la racine carrée, on passe du carré à la longueur. Comme une longueur est positive, \(BC = \sqrt{BC^2}\) :

\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \]

Dans un triangle \(DEF\) rectangle en \(E\), quelle est l'hypoténuse ?

\([DE]\)
\([DF]\)
\([EF]\)

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. L'angle droit est en \(E\), donc l'hypoténuse est \([DF]\), et \(DF^2 = DE^2 + EF^2\).

2. Calculer l'hypoténuse

Exemple résolu 1. Calculer la longueur \(d\) du raccourci de Kofi. Cherche d'abord !

Le triangle formé est rectangle ; son hypoténuse est le raccourci \(d\). D'après Pythagore : \(d^2 = 80^2 + 60^2\).

\(d^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\).

\(d\) est une longueur positive, donc \(d = \sqrt{10\,000} = 100\).

Le raccourci mesure 100 m, au lieu de \(80 + 60 = 140\) m : Kofi gagne 40 m.

Exemple résolu 2. \(MNP\) est rectangle en \(M\), avec \(MN = 5\) cm et \(MP = 7\) cm. Calculer \(NP\), en valeur exacte puis arrondie au dixième.

Voir la solution

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle \(MNP\) rectangle en \(M\) :

\begin{align} NP^2 &= MN^2 + MP^2 \\ NP^2 &= 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 \end{align}

Donc \(NP = \sqrt{74}\) cm (valeur exacte ; 74 n'a pas de diviseur carré parfait autre que 1, on ne peut pas simplifier).

À la calculatrice : \(\sqrt{74} \approx 8{,}602\), donc \(NP \approx 8{,}6\) cm.

Manipule

Un côté de l'angle droit mesure \(a\) (réglable) et l'autre \(x\). La courbe donne la longueur de l'hypoténuse \(\sqrt{a^2 + x^2}\) en fonction de \(x\). Pour \(a = 3\), lis la valeur en \(x = 4\) : tu trouves 5. Observe que l'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux autres côtés.

Un triangle est rectangle ; les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Combien mesure l'hypoténuse ?

14 cm
100 cm
10 cm

\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), et \(\sqrt{100} = 10\). 100 est le carré de l'hypoténuse : il ne faut pas oublier de prendre la racine carrée.

3. Calculer un côté de l'angle droit

L'échelle de 5 m va du sol au mur : elle est l'hypoténuse du triangle, car elle est en face de l'angle droit.

Le mur et le sol forment un angle droit ; le pied de l'échelle est à 3 m du mur.

La hauteur h cherchée est un côté de l'angle droit : on l'obtient en soustrayant, puis en prenant la racine carrée.

Exemple résolu 3. Calculer la hauteur \(h\).

D'après Pythagore : \(5^2 = h^2 + 3^2\).

Donc \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).

\(h = \sqrt{16} = 4\). L'échelle touche le mur à 4 m de hauteur.

Exemple résolu 4. \(RST\) est rectangle en \(S\), \(RT = 9\) cm et \(RS = 6\) cm. Calculer \(ST\) en valeur exacte simplifiée.

Voir la solution

\begin{align} RT^2 &= RS^2 + ST^2 \\ ST^2 &= 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45 \end{align}

\(ST = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\) cm, soit environ 6,7 cm.

Triangle rectangle d'hypoténuse 13 cm, un côté de l'angle droit mesure 5 cm. Combien mesure l'autre ?

12 cm
\(\sqrt{194}\) cm
8 cm

\(13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\) et \(\sqrt{144} = 12\). \(\sqrt{194}\) vient d'une addition à tort ; 8 vient de \(13 - 5\), qui oublie les carrés.

4. Diagonales et distances dans un repère

Diagonale d'un carré et d'un rectangle

La diagonale coupe le carré en deux triangles rectangles. Pour un carré de côté \(c\) :

\[ d^2 = c^2 + c^2 = 2c^2 \quad \text{donc} \quad d = \sqrt{2c^2} = c\sqrt{2} \]

Pour le carreau de Nadia : \(d = 30\sqrt{2} \approx 42{,}4\) cm. Pour un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(\ell\), on a de même \(d = \sqrt{L^2 + \ell^2}\).

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, pour aller de \(A\) à \(B\), on peut se déplacer horizontalement de \(x_B - x_A\), puis verticalement de \(y_B - y_A\) : on forme un triangle rectangle dont \([AB]\) est l'hypoténuse. D'où :

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Exemple résolu 5. Calculer \(AB\) avec \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\).

\(x_B - x_A = 4 - 1 = 3\) et \(y_B - y_A = 6 - 2 = 4\).

\(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\).

\(AB = 5\) unités.

Exemple résolu 6. Calculer \(EF\) avec \(E(-2\,;\,1)\) et \(F(3\,;\,-1)\).

Voir la solution

\(x_F - x_E = 3 - (-2) = 5\) et \(y_F - y_E = -1 - 1 = -2\).

\[ EF = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39 \]

Le carré d'un nombre négatif est positif : \((-2)^2 = 4\).

Combien mesure la diagonale d'un carré de 5 cm de côté ?

10 cm
\(5\sqrt{2}\) cm, soit environ 7,1 cm
\(\sqrt{10}\) cm

\(d^2 = 5^2 + 5^2 = 50\), donc \(d = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\) cm.

Dans un repère orthonormé, quelle est la distance entre \(O(0\,;\,0)\) et \(K(6\,;\,8)\) ?

14
\(\sqrt{14}\)
10

\(OK = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Triangle rectangle en \(A\) : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), donc \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\) et \(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\).
On donne la valeur exacte (racine simplifiée) ou une valeur approchée avec \(\approx\), selon la consigne.
Diagonale d'un carré de côté \(c\) : \(c\sqrt{2}\) ; d'un rectangle : \(\sqrt{L^2 + \ell^2}\).
Distance dans un repère orthonormé : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).

Cartes mémo

Hypoténuse

Côté opposé à l'angle droit, le plus long : \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\).

Côté de l'angle droit

\(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\) : on soustrait.

Diagonale d'un carré de côté \(c\)

\(c\sqrt{2}\)

Distance \(AB\) dans un repère

\(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

Valeur exacte ou approchée

\(\sqrt{74}\) est exacte ; \(8{,}6\) est approchée : \(\sqrt{74} \approx 8{,}6\).