Applications géométriques des vecteurs

Les vecteurs sont comme des flèches qui ont une direction et une longueur. Ils permettent de représenter différentes situations concrètes en géométrie, comme la position d’un point, un déplacement ou une force.

1. La translation / déplacement

Supposons que vous souhaitez déplacer un point d’une position à une autre. Si vous avez un vecteur \(ec{u}\), vous pouvez le « déplacer » en appliquant ce vecteur. Par exemple, si un point est à la position \(A\) et que le vecteur \(ec{u}\) indique un déplacement vers la droite et en bas, alors le nouveau point \(B\) sera la position de départ plus le vecteur :

B = A + ec{u}

Ce processus est une translation, une sorte de déplacement sans changer la forme ou la taille de l’objet.

2. La somme de vecteurs

On peut additionner deux vecteurs pour obtenir un nouveau vecteur. C’est comme en marche : si vous partez du point \(O\), faites un premier pas avec \(ec{u}\), puis un deuxième avec \(ec{v}\). Le résultat est un vecteur \(ec{w} = ec{u} + ec{v}\) qui indique le trajet total depuis le point de départ jusqu’à la fin.

En coordonnées, si \(ec{u} = \left( u_x, u_y ight)\) et \(ec{v} = \left( v_x, v_y ight)\), alors :

\[ec{w} = \left( u_x + v_x, u_y + v_y 
ight)\]

3. La colinéarité et l'égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction ou sont opposés. Si deux vecteurs \(ec{AB}\) et \(ec{CD}\) ont la même direction et la même longueur, alors :

\[ec{AB} = ec{CD}\]

Ce qui signifie que ces deux vecteurs sont égaux.

4. La norme d’un vecteur

La longueur d’un vecteur, appelée aussi norme, est notée \(\left|ec{u} ight|\). Si \(ec{u} = \left( u_x, u_y ight)\), alors :

\[\left|ec{u}
ight| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\]

Par exemple, si \(ec{u} = (3, 4)\), sa longueur est : \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

5. Résumé

• Les vecteurs représentent des déplacements ou des forces.
• Ils peuvent être ajoutés pour obtenir de nouveaux vecteurs.
• La longueur d’un vecteur est donnée par la formule de la distance en coordonnées.
• Ces notions sont très utiles pour comprendre la géométrie dans l’espace.

Les vecteurs permettent cette belle capacité de représenter concrètement des déplacements ou des forces dans la géométrie, un peu comme des flèches indiquant le trajet ou la direction d’un mouvement.