Applications géométriques des vecteurs

Les vecteurs permettent de traiter de nombreux problèmes géométriques en utilisant leur représentation et leurs propriétés.

Objectifs

Comprendre comment représenter un déplacement ou une position avec un vecteur.
Utiliser les vecteurs pour calculer des longueurs, des angles et des déplacements dans un plan.
Savoir appliquer les vecteurs aux problèmes de traduction, de colinéarité, et d’intersection.

Considérons deux points \(A(1, 2)\) et \(B(4, 5)\).

Le vecteur \(\vec{AB}\) est défini par la différence de coordonnées :

\[ \vec{AB} = \left( \begin{array}{c} 4 - 1 \ 5 - 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \ 3 \end{array} \right) \]

Ce vecteur indique le déplacement du point \(A\) vers le point \(B\).

Supposons que l’on souhaite déplacer le point \(A\) de ce vecteur. Le nouveau point \(C\) aura pour coordonnées :

\[ C = (1 + 3, 2 + 3) = (4, 5) \]

Ce résultat montre comment un vecteur permet de faire un déplacement dans le plan.

Voir la solution

On ajoute les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) à celles du point \(A\) :

\[ (1+3, 2+3) = (4, 5) \]

Mini-quiz : Quel est le vecteur allant de \(C(2, 3)\) à \(D(5, 7)\) ?

Choisissez la bonne réponse :

Le vecteur \(\vec{CD}\) est calculé par la différence de coordonnées : \( (5-2, 7-3) = (3, 4) \), donc la réponse 1 est correcte.

Vecteur

Représentation d’un déplacement ou d’une position dans le plan, à l’aide de coordonnées ou de module et direction.

Calcul du vecteur

Soustraction des coordonnées : \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

Application

Faire déplacer un point en ajoutant le vecteur à ses coordonnées ou vérifier la colinéarité de points par produit scalaire.