Applications géométriques en géométrie vectorielle et complexes

Les applications géométriques permettent de transformer ou de déplacer des figures tout en conservant certaines propriétés. Dans ce chapitre, nous verrons deux types d'applications : celles en géométrie vectorielle et celles en nombres complexes.

1. Translations

Une translation déplace tous les points d'une figure d'un même vecteur. Si \( ec{u} \) est un vecteur, alors la translation \( T_{ec{u}} \) applique chaque point \( M \) par :

\( M' = M + ec{u} \)

Exemple : décaler un triangle d'un vecteur \( ec{u} \).

2. Rotations

Une rotation tourne une figure autour d'un point appelé centre de rotation \( O \), d’un angle \( heta \). En géométrie vectorielle, si \( ec{OM} \) est un vecteur, la nouvelle position \( M' \) après rotation est donnée par :

\[ ec{OM'} = R_{ heta} (ec{OM}) \]

où \( R_{ heta} \) est la rotation de centre \( O \) et d’angle \( heta \).

3. Applications en nombres complexes

Les nombres complexes \( z = x + iy \) peuvent représenter des points \( (x, y) \). Une application géométrique se traduit par une transformation de \( z \).

3.1. Translations

Ajouter un nombre complexe \( c \) à \( z \) :

\( z' = z + c \)

Correspond à une translation du point associé.

3.2. Rotations

Multiplier \( z \) par \( e^{i heta} \) :

\[ z' = z imes e^{i heta} \]

Ce qui tourne le point selon un angle \( heta \) autour de l'origine.

Résumé

• Les translations se font par addition de vecteurs ou de nombres complexes.
• Les rotations s'effectuent par multiplication par \( e^{i heta} \) en nombres complexes ou par une matrice de rotation en vecteurs.

Ces applications permettent de manipuler géométriquement des figures de façon simple et efficace, en utilisant la structure des vecteurs ou des nombres complexes.