Une application réussie associe conditions géométriques, unités communes et calcul exact jusqu’au résultat.

Applications numériques de Thalès

Objectifs

Choisir les données utiles.
Convertir avant de former un rapport.
Contrôler et arrondir seulement à la fin.

Modéliser puis choisir une proportion

On relève d’abord les données, les alignements et le parallélisme. Les mesures doivent être dans une même unité. Ensuite on choisit une égalité de deux rapports contenant une seule inconnue ; il est inutile de recopier toutes les valeurs dans le calcul.

M est placé sur le côté AB et N sur le côté AC, dans un ordre cohérent à partir de A.

Le segment MN est parallèle à BC. Cette information est une hypothèse ; un dessin seul ne la prouve pas.

On donne \(AB=6\,\mathrm{cm}\), \(AM=3\,\mathrm{cm}\), \(AC=10\,\mathrm{cm}\), \(BC=8\,\mathrm{cm}\). Calcule \(AN\) et \(MN\).

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Le facteur est \(k=AM/AB=3/6=1/2\).

\(AN=k\times AC=5\,\mathrm{cm}\).

\(MN=k\times BC=4\,\mathrm{cm}\).

Quel facteur passe du grand triangle au petit ?

\(2\)
\(\frac12\)
\(3\)

Les longueurs du petit triangle valent la moitié des longueurs correspondantes du grand.

Convertir les unités et retrouver une longueur

Données fictives : \(AM=30\,\mathrm{mm}\), \(AB=6\,\mathrm{cm}\), \(AN=5\,\mathrm{cm}\). Calcule \(AC\) sous les conditions de Thalès.

Voir la solution après avoir cherché

\(30\,\mathrm{mm}=3\,\mathrm{cm}\), par la définition des préfixes des unités.

\(\frac36=\frac5{AC}\).

Le produit en croix donne \(3AC=30\), donc \(AC=10\,\mathrm{cm}\).

Contrôle : \(AC\) est plus grand que \(AN\), car \(N\) est entre \(A\) et \(C\).

Pourquoi le rapport \(30/6\) ne convient-il pas directement ici ?

Les deux nombres ne sont pas dans la même unité
Parce qu’on ne peut jamais diviser par 6
Parce que les millimètres sont interdits

Il faut exprimer les deux longueurs dans une unité commune, ou convertir explicitement leur quotient.

Arrondir à la fin et contrôler

Nouvelle situation fictive : \(AM=4\,\mathrm{cm}\), \(AB=7\,\mathrm{cm}\), \(AC=9\,\mathrm{cm}\), sous les conditions du théorème. Calcule \(AN\), puis \(NC\), avec \(N\in[AC]\).

Voir la solution après avoir cherché

\(\frac47=\frac{AN}{9}\), donc \(AN=\frac{36}{7}\,\mathrm{cm}\).

\(NC=AC-AN=9-\frac{36}{7}=\frac{27}{7}\,\mathrm{cm}\).

\(AN\approx5{,}14\,\mathrm{cm}\) et \(NC\approx3{,}86\,\mathrm{cm}\), arrondis au centième.

Les valeurs exactes donnent \(AN+NC=\frac{63}{7}=9\,\mathrm{cm}\).

À quel moment est-il préférable d’arrondir ?

Dès la première division
À la fin, après avoir conservé les fractions exactes

Les arrondis intermédiaires peuvent se propager dans les calculs suivants.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Écrire une proportion adaptée et contrôler chaque étape rend le calcul de longueur fiable.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Proportion

Égalité de deux rapports correspondants.

Unité commune

Condition pour comparer directement les valeurs des longueurs.

Valeur exacte

Fraction conservée avant l’arrondi final.

Contrôle

Vérifier les positions, la taille et la somme des morceaux.