Applications pratiques : travail et puissance
Travail et puissance : applications pratiques
Le travail mesure l'énergie transférée par une force qui déplace un objet, la puissance dit à quelle vitesse ce transfert se fait : avec deux formules on peut analyser un porteur, une pompe, une grue ou un moulin.
Objectifs
- Calculer le travail d'une force constante \(W = F \cdot AB \cdot \cos\alpha\) et le travail du poids \(W = m\,g\,h\).
- Calculer une puissance moyenne \(P = \dfrac{W}{\Delta t}\) et la puissance d'une force \(P = F \cdot v\).
- Calculer un rendement et convertir une énergie en kilowattheures.
- Appliquer ces outils à des situations de la vie courante et de l'industrie.
1. Rappels : les outils de calcul
Le travail d'une force constante
Quand le point d'application d'une force constante \(\vec{F}\) se déplace de A à B en ligne droite, son travail est :
\[ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha \]avec \(F\) en newtons (N), \(AB\) en mètres (m), \(\alpha\) l'angle entre la force et le déplacement, et \(W\) en joules (J).
- \(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\) : \(W > 0\), travail moteur (la force aide le mouvement).
- \(\alpha = 90^\circ\) : \(W = 0\), la force ne travaille pas.
- \(90^\circ < \alpha \le 180^\circ\) : \(W < 0\), travail résistant (la force freine).
La corde exerce sur la charrette une force F inclinée vers le haut, alors que la charrette avance horizontalement.
Seule la partie de F dirigée dans le sens du déplacement, F cos α, fait avancer la charrette : c'est elle qui travaille.
L'angle α entre la force et le déplacement fixe cette part : plus α est grand, plus le travail est petit.
Le travail du poids
Le poids \(\vec{P}\) d'un objet de masse \(m\) a pour valeur \(P = m\,g\) (avec \(g \approx 9{,}8\ \mathrm{N/kg}\)). Quand l'objet change d'altitude d'une hauteur \(h\) :
\[ W(\vec{P}) = -\,m\,g\,h \ \text{à la montée}, \qquad W(\vec{P}) = +\,m\,g\,h \ \text{à la descente.} \]Pour monter l'objet à vitesse constante, il faut donc fournir un travail \(W = m\,g\,h\) : il ne dépend que de la hauteur, pas du chemin suivi.
La puissance
La puissance moyenne est le travail fourni par unité de temps :
\[ P = \frac{W}{\Delta t} \qquad \text{(}P\text{ en watts W, }W\text{ en J, }\Delta t\text{ en s)} \]Si la force est parallèle à la vitesse \(v\) (en m/s) et dans le même sens : \(P = F \cdot v\). Plus généralement \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\).
Manipule le graphique : il donne le travail \(W = F \cdot AB \cdot \cos\alpha\) en fonction de l'angle \(\alpha\) (en degrés, axe horizontal), pour une force \(F\) et une distance \(d = AB\) que tu choisis.
Observe : le travail est maximal pour \(\alpha = 0^\circ\), nul pour \(\alpha = 90^\circ\) et négatif au-delà.
Un vendeur porte un plateau de mangues sur la tête et marche à vitesse constante sur une route horizontale. Quel est le travail de la force verticale qu'il exerce sur le plateau ?
2. Cas de la vie quotidienne
Exemple résolu 1 : le porteur et le sac de riz
Ibrahim monte un sac de riz de \(50\ \mathrm{kg}\) au premier étage, à \(3\ \mathrm{m}\) de hauteur, à vitesse constante, en \(30\ \mathrm{s}\). On prend \(g = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}\). Calcule le travail qu'il fournit au sac, puis sa puissance moyenne. Cherche d'abord.
Exemple résolu 2 : la charrette tirée
Awa tire une charrette sur \(100\ \mathrm{m}\) de route horizontale avec une corde qui fait un angle \(\alpha = 30^\circ\) avec la route. La force exercée par la corde vaut \(F = 200\ \mathrm{N}\). Calcule son travail.
Voir la solution
\[ \begin{align} W &= F \cdot AB \cdot \cos\alpha \\ &= 200 \times 100 \times \cos 30^\circ \\ &\approx 200 \times 100 \times 0{,}866 \approx 1{,}73 \times 10^{4}\ \mathrm{J} \end{align} \]Le travail est moteur. Si la corde était horizontale (\(\alpha = 0^\circ\)), il vaudrait \(2{,}0 \times 10^{4}\ \mathrm{J}\) : tirer à l'horizontale est plus efficace pour avancer.
Exemple résolu 3 : le freinage
Sur une piste, une force de frottement de \(50\ \mathrm{N}\), opposée au mouvement, s'exerce sur un vélo qui parcourt \(10\ \mathrm{m}\). Quel est son travail ?
Voir la solution
La force est opposée au déplacement : \(\alpha = 180^\circ\), \(\cos 180^\circ = -1\).
\[ W = 50 \times 10 \times (-1) = -500\ \mathrm{J} \]Le travail est résistant : le frottement retire de l'énergie au vélo (elle se transforme en chaleur).
Deux élèves montent chacun un seau d'eau de \(10\ \mathrm{kg}\) de \(2\ \mathrm{m}\) de haut. Kossi met \(4\ \mathrm{s}\), Mariam \(8\ \mathrm{s}\). Que peut-on dire ?
3. Cas industriels : pompe, grue, moulin
Le rendement
Le rendement \(\eta\) compare ce qui est utile à ce qui est consommé :
\[ \eta = \frac{W_{\text{utile}}}{W_{\text{consommé}}} = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}}, \qquad 0 < \eta < 1 \]flowchart LR A[Energie electrique] --> B[Moteur et pompe] B --> C[Energie utile pour monter l eau] B --> D[Pertes chaleur et frottements]
Exemple résolu 4 : la pompe du forage
Une pompe remonte \(2\ \mathrm{m^3}\) d'eau (masse \(2000\ \mathrm{kg}\)) d'une hauteur de \(25\ \mathrm{m}\) en \(20\ \mathrm{min}\). Son moteur absorbe une puissance électrique de \(600\ \mathrm{W}\). Calcule la puissance utile et le rendement.
Exemple résolu 5 : la grue du port
Une grue du port soulève un conteneur de \(20\ \mathrm{t}\) à vitesse constante \(v = 0{,}5\ \mathrm{m/s}\) sur \(15\ \mathrm{m}\). Calcule la puissance de la force exercée par le câble, la durée de la montée et le travail. Cherche d'abord.
Voir la solution
À vitesse constante, la force du câble compense le poids : \(F = m\,g = 20\,000 \times 9{,}8 = 196\,000\ \mathrm{N}\).
\[ \begin{align} P &= F \cdot v = 196\,000 \times 0{,}5 = 98\,000\ \mathrm{W} = 98\ \mathrm{kW}\\ \Delta t &= \frac{h}{v} = \frac{15}{0{,}5} = 30\ \mathrm{s}\\ W &= F \cdot h = 196\,000 \times 15 = 2{,}94 \times 10^{6}\ \mathrm{J} \end{align} \]Vérification : \(\dfrac{W}{\Delta t} = \dfrac{2{,}94 \times 10^{6}}{30} = 98\,000\ \mathrm{W}\), les deux formules concordent.
Exemple résolu 6 : le moulin à mil et le kilowattheure
Le kilowattheure (kWh) est l'énergie transférée par un appareil de \(1\ \mathrm{kW}\) pendant \(1\ \mathrm{h}\) : \(1\ \mathrm{kWh} = 1000 \times 3600 = 3{,}6 \times 10^{6}\ \mathrm{J}\). C'est l'unité des factures d'électricité.
Le moulin électrique de Mme Diallo a une puissance de \(2\ \mathrm{kW}\) et tourne \(3\ \mathrm{h}\) par jour. Quelle énergie consomme-t-il par jour, en kWh puis en joules ? Avec un prix choisi pour l'exercice de \(100\ \text{F CFA}\) le kWh, combien coûte une journée ?
Voir la solution
\[ \begin{align} E &= P \cdot \Delta t = 2\ \mathrm{kW} \times 3\ \mathrm{h} = 6\ \mathrm{kWh}\\ E &= 6 \times 3{,}6 \times 10^{6} = 2{,}16 \times 10^{7}\ \mathrm{J}\\ \text{coût} &= 6 \times 100 = 600\ \text{F CFA} \end{align} \]Un moteur absorbe \(1000\ \mathrm{W}\) et fournit une puissance utile de \(750\ \mathrm{W}\). Quel est son rendement ?
Une lampe de \(10\ \mathrm{W}\) reste allumée \(5\ \mathrm{h}\). Quelle énergie consomme-t-elle ?
Erreurs fréquentes
- Oublier le \(\cos\alpha\) quand la force est inclinée.
- Croire qu'une force perpendiculaire au déplacement travaille.
- Laisser la durée en minutes ou la masse en tonnes.
- Confondre puissance (W) et énergie (J ou kWh).
- Trouver un rendement supérieur à 1 : c'est le signe d'une inversion dans la fraction.
Récapitulatif
Pour analyser une situation pratique : identifier la force et le déplacement, calculer le travail, diviser par la durée pour la puissance, comparer l'utile au consommé pour le rendement, et convertir en kWh pour parler de consommation électrique.
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