Objectifs

• Calculer une probabilité conditionnelle \(P_A(B)\) à partir d'un tableau croisé d'effectifs.
• Construire et utiliser un arbre pondéré : règle du produit, formule des probabilités totales.
• Reconnaître deux événements indépendants.
• Écrire un algorithme de simulation et interpréter une estimation par la méthode de Monte Carlo.

1. Rappel : la probabilité conditionnelle

Définition. Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle. La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :

On en déduit la règle du produit : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).

2. Le tableau croisé d'effectifs

On interroge les 400 élèves d'un lycée (données de l'exercice). On note \(F\) : « l'élève est une fille » et \(S\) : « l'élève fait partie d'un club de sport ».

Exemple résolu 1

On choisit un élève au hasard. Calcule \(P(F)\), \(P(F \cap S)\), \(P_F(S)\) et \(P_S(F)\). Cherche d'abord.

3. L'arbre pondéré

Situation (données de l'exercice). Une coopérative de Korhogo reçoit ses mangues de deux vergers : 70 % viennent du verger \(A\), 30 % du verger \(B\). Parmi les mangues du verger \(A\), 5 % sont abîmées (\(D\)) ; parmi celles du verger \(B\), 10 % sont abîmées. On note \(S\) l'événement « la mangue est saine ».

Exemple résolu 2

Calcule la probabilité qu'une mangue prise au hasard soit abîmée, puis la probabilité qu'une mangue abîmée vienne du verger \(A\).

4. Événements indépendants

Définition. Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]

Si \(P(A) \neq 0\), cela revient à dire que \(P_A(B) = P(B)\) : savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\).

Succession d'épreuves indépendantes. Quand on répète une expérience dans les mêmes conditions (lancer un dé deux fois, tirer avec remise), les probabilités ne changent pas d'une épreuve à l'autre : sur l'arbre, on retrouve les mêmes nombres à chaque niveau, et la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités.

5. Simulation et méthode de Monte Carlo

Principe. On fait simuler l'expérience aléatoire \(n\) fois par un ordinateur, on compte combien de fois l'événement se produit, puis on calcule la fréquence. Quand \(n\) devient grand, cette fréquence se rapproche de la probabilité : elle en est une estimation.

flowchart TD
  A[Choisir n et compteur à 0] --> B[Simuler une expérience]
  B --> C{Événement réalisé}
  C -->|oui| D[Ajouter 1 au compteur]
  C -->|non| E[Ne rien faire]
  D --> F{n essais faits}
  E --> F
  F -->|non| B
  F -->|oui| G[Fréquence égale compteur sur n]

Exemple résolu 3 : simuler les mangues

En Python, random() renvoie un nombre au hasard entre 0 et 1. La condition random() < 0.7 est donc vraie avec une probabilité de 0,7 : elle simule « la mangue vient du verger A ».

from random import random

def simulation(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.7:          # verger A
            abimee = random() < 0.05
        else:                       # verger B
            abimee = random() < 0.10
        if abimee:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

Avant de regarder : vers quelle valeur doit tendre simulation(100000) ?

Exemple résolu 4 : estimer \(\pi\)

On tire au hasard un point \(M(x ; y)\) avec \(x\) et \(y\) entre 0 et 1, donc dans un carré de côté 1. Le point est dans le quart de disque de centre \(O\) et de rayon 1 lorsque \(x^2 + y^2 \leq 1\).

Quelle précision ?

Pour un échantillon de taille \(n\), la fréquence observée tombe, dans environ 95 % des cas, dans l'intervalle \(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) (résultat vu en Seconde, valable pour \(n\) assez grand). Fais varier \(p\) et regarde la largeur de cet intervalle en fonction de \(n\) :

Erreurs fréquentes

• Diviser par le total général au lieu du total de la ligne ou de la colonne pour une probabilité conditionnelle.
• Additionner les probabilités le long d'un chemin au lieu de les multiplier.
• Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.
• Confondre \(P_A(B)\) et \(P(A \cap B)\) : la première est la valeur portée par la branche, la seconde est le produit le long du chemin.
• Croire qu'une fréquence obtenue par simulation est la probabilité exacte.

Récapitulatif

• \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) et \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).
• Tableau croisé : conditionnel = case divisée par le total de la ligne ou de la colonne qui sert de condition.
• Arbre : somme 1 à chaque nœud, produit le long d'un chemin, somme des chemins (probabilités totales).
• Indépendance : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
• Monte Carlo : la fréquence obtenue sur un grand nombre de simulations estime la probabilité, avec une marge de l'ordre de \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).