Introduction

L'auto-induction est un phénomène où un courant électrique variable dans une bobine induit une force électromotrice (f.e.m.) dans cette même bobine. Ce phénomène est à la base du calcul de l'induction auto-inductive.

Définition de l'induction auto-inductive

L'induction auto-inductive \( e \) est la force électromotrice induite dans une bobine par sa propre variation de courant. Elle est donnée par la loi :

\[ e = -L \dfrac{di}{dt} \]

où :

• \( L \) est la inductance de la bobine (en henrys, H).
• \( \dfrac{di}{dt} \) est la dérivée du courant \( i \) par rapport au temps.

Calcul de l'induction auto-inductive

Pour calculer \( e \), il faut connaître la variation du courant au cours du temps, c'est-à-dire la fonction \( i(t) \).

Exemple : si le courant varie selon la loi :

\[ i(t) = I_{0} (1 - e^{-rac{t}{ au}}) \]

où :

• \( I_{0} \) est le courant final max (en ampères).
• \( au = \dfrac{L}{R} \) est la constante de temps, avec \( R \) la résistance de la bobine.

La dérivée du courant est :

\[ \dfrac{di}{dt} = \dfrac{I_{0}}{ au} e^{-rac{t}{ au}} \]

En remplaçant dans la formule de \( e \), on obtient :

\[ e(t) = -L imes \dfrac{I_{0}}{ au} e^{-rac{t}{ au}} = - R I_{0} e^{-rac{t}{ au}} \]

Ce résultat montre que l'induction auto-inductive diminue exponentiellement avec le temps.

Résumé

• L'induction auto-inductive est proportionnelle à la dérivée du courant.
• Elle s'exprime par la formule \( e = -L \dfrac{di}{dt} \).
• La connaissance de la loi du courant \( i(t) \) permet de calculer l'induction à tout instant.