Barycentre : propriétés et applications

Le barycentre est le point d'équilibre de points « pesants » : il se trouve plus près du point le plus lourd, et il sert à construire des points, prouver des alignements et simplifier des sommes de vecteurs.

Objectifs

Connaître la définition du barycentre de deux ou trois points pondérés.
Construire le barycentre à l'aide de la relation \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\).
Utiliser les propriétés : homogénéité, position sur la droite, réduction de \(a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB}\), coordonnées, associativité.
Appliquer le barycentre pour montrer un alignement, un point de concours ou trouver un ensemble de points.

1. Rappel : définition du barycentre

De même, pour trois points avec \(a + b + c \neq 0\), le barycentre de \((A\,;a)\), \((B\,;b)\), \((C\,;c)\) est l'unique point \(G\) tel que \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} + c\,\overrightarrow{GC} = \vec{0}\).

Exemple résolu 1 : construire \(G\), barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;3)\)

Étape 1 : la somme des coefficients vaut \(1 + 3 = 4\), on partage \([AB]\) en \(4\) parts égales.

Étape 2 : \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) : on compte \(3\) parts depuis \(A\). \(G\) est bien plus près de \(B\), le point le plus « lourd ».

Vérifier le résultat

Avec \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{GA} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{GB} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\). Donc

\[ 1 \times \overrightarrow{GA} + 3 \times \overrightarrow{GB} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} = \vec{0}. \]

\(G\) est le barycentre de \((A\,;2)\) et \((B\,;3)\). Que vaut \(\overrightarrow{AG}\) ?

\(\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\)
\(\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\)
\(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{2+3}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\). Le coefficient du haut est celui de \(B\), l'autre point.

2. Propriétés du barycentre

a) Homogénéité

Pour tout réel \(k \neq 0\), le barycentre de \((A\,;ka)\) et \((B\,;kb)\) est le même que celui de \((A\,;a)\) et \((B\,;b)\). Par exemple, \((A\,;4)\), \((B\,;-2)\) a le même barycentre que \((A\,;2)\), \((B\,;-1)\).

b) Isobarycentre

Si les coefficients sont égaux (\(a = b \neq 0\)), le barycentre est l'isobarycentre : pour deux points, c'est le milieu de \([AB]\) ; pour trois points, c'est le centre de gravité du triangle.

c) Position sur la droite

Le barycentre de deux points distincts \(A\) et \(B\) est toujours sur la droite \((AB)\).
Si \(a\) et \(b\) sont de même signe, \(G\) est sur le segment \([AB]\), plus près du point de plus grand coefficient (en valeur absolue).
Si \(a\) et \(b\) sont de signes contraires, \(G\) est en dehors du segment \([AB]\), du côté du point de plus grand coefficient en valeur absolue.

d) Réduction vectorielle

Voir la démonstration

\begin{align} a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} &= a\left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\right) + b\left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\right) \\ &= (a+b)\,\overrightarrow{MG} + \underbrace{a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB}}_{=\,\vec{0}} \\ &= (a+b)\,\overrightarrow{MG}. \end{align}

e) Coordonnées

Dans un repère, si \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\), alors \[ x_G = \frac{a\,x_A + b\,x_B}{a+b}, \qquad y_G = \frac{a\,y_A + b\,y_B}{a+b}. \] C'est une « moyenne pondérée » des coordonnées, comme une moyenne de notes avec coefficients.

Exemple résolu 2

Dans un repère, \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;-1)\). Calculer les coordonnées du barycentre \(G\) de \((A\,;2)\) et \((B\,;1)\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\[ x_G = \frac{2 \times 1 + 1 \times 4}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2, \qquad y_G = \frac{2 \times 2 + 1 \times (-1)}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1. \]

Donc \(G(2\,;1)\). Vérification : \(\overrightarrow{AG}(1\,;-1)\) et \(\overrightarrow{AB}(3\,;-3)\), donc \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), ce qui correspond bien à \(\dfrac{b}{a+b} = \dfrac{1}{3}\).

Exemple résolu 3 : coefficients de signes contraires

Construire le barycentre \(G\) de \((A\,;2)\) et \((B\,;-1)\).

La somme des coefficients vaut \(2 + (-1) = 1 \neq 0\) : le barycentre existe.

\[ \overrightarrow{AG} = \frac{-1}{1}\,\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}. \]

Donc \(G\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\) : il est en dehors de \([AB]\), du côté de \(A\) (coefficient \(2\), le plus grand en valeur absolue).

\(G\) est le barycentre de \((A\,;3)\) et \((B\,;1)\). Pour tout point \(M\), \(3\,\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) est égal à :

\(3\,\overrightarrow{MG}\)
\(\overrightarrow{MG}\)
\(4\,\overrightarrow{MG}\)
\(\vec{0}\)

Par la réduction vectorielle, \(a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} = (a+b)\,\overrightarrow{MG}\), soit \(4\,\overrightarrow{MG}\). Le résultat \(\vec{0}\) n'est vrai que si \(M = G\).

3. Barycentre de trois points et associativité

Exemple résolu 4 : barycentre de \((A\,;1)\), \((B\,;1)\), \((C\,;2)\)

Étape 1 : \((A\,;1)\) et \((B\,;1)\) ont le même coefficient, leur barycentre partiel est le milieu \(I\) de \([AB]\), qui reçoit le coefficient \(1 + 1 = 2\).

Étape 2 : il reste à trouver le barycentre de \((I\,;2)\) et \((C\,;2)\) : on trace le segment \([IC]\).

Étape 3 : les coefficients de \(I\) et \(C\) sont égaux, donc \(G\) est le milieu de \([IC]\).

Cherche d'abord : que vaut \(\overrightarrow{IG}\) ?

\(G\) est le barycentre de \((I\,;2)\) et \((C\,;2)\), donc \(\overrightarrow{IG} = \dfrac{2}{2+2}\overrightarrow{IC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{IC}\) : \(G\) est bien le milieu de \([IC]\).

\(G\) est l'isobarycentre du triangle \(ABC\) et \(I\) le milieu de \([BC]\). Que vaut \(\overrightarrow{AG}\) ?

\(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\)
\(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}\)
\(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}\)

Par associativité, \(G\) est le barycentre de \((A\,;1)\) et \((I\,;2)\), donc \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{1+2}\overrightarrow{AI} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\). On retrouve la position du centre de gravité sur une médiane.

4. Applications

a) Alignement et concours de droites

Le barycentre de deux points est sur la droite qui les joint. Donc, si un point est à la fois barycentre de \(A\) et \(I\) et barycentre de \(B\) et \(J\), il est sur les droites \((AI)\) et \((BJ)\) : elles sont concourantes en ce point.

Exemple : les trois médianes d'un triangle sont concourantes. En effet, l'isobarycentre \(G\) de \(A\), \(B\), \(C\) est le barycentre de \(A\) et du milieu de \([BC]\), de \(B\) et du milieu de \([AC]\), de \(C\) et du milieu de \([AB]\) (associativité) : il appartient aux trois médianes.

b) Trouver un ensemble de points

Exemple résolu 5 : \(A\) et \(B\) sont deux points tels que \(AB = 6\) cm. Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\left\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right\| = 6\).

Soit \(I\) le milieu de \([AB]\), isobarycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;1)\). Par réduction : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}\).

La condition devient \(\left\|2\,\overrightarrow{MI}\right\| = 6\), c'est-à-dire \(2\,MI = 6\), donc \(MI = 3\).

L'ensemble cherché est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(3\) cm, c'est-à-dire le cercle de diamètre \([AB]\).

flowchart LR
A[Somme de vecteurs] --> B[Je cherche le barycentre G]
B --> C[Je reduis en un seul vecteur MG]
C --> D[Je traduis en distance MG]
D --> E[Je reconnais un point un cercle ou une droite]

\(G\) est le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;3)\). L'ensemble des points \(M\) tels que \(\left\|\overrightarrow{MA} + 3\,\overrightarrow{MB}\right\| = 8\) est :

Le cercle de centre \(G\) et de rayon \(8\)
Le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\)
La droite \((AB)\)

\(\overrightarrow{MA} + 3\,\overrightarrow{MB} = 4\,\overrightarrow{MG}\), donc \(4\,MG = 8\) et \(MG = 2\) : c'est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(2\).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que la somme des coefficients n'est pas nulle.
Inverser les coefficients dans \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\).
Oublier le facteur \((a+b)\) dans la réduction \(a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} = (a+b)\,\overrightarrow{MG}\).
Croire que \(G\) est toujours entre \(A\) et \(B\) : c'est faux quand les coefficients sont de signes contraires.

Récapitulatif

\(G\) barycentre de \((A\,;a)\), \((B\,;b)\) avec \(a + b \neq 0\) : \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\).
Homogénéité : multiplier tous les coefficients par \(k \neq 0\) ne change pas \(G\).
Réduction : \(a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} = (a+b)\,\overrightarrow{MG}\).
Coordonnées : moyenne pondérée des coordonnées.
Associativité : on peut remplacer deux points par leur barycentre partiel muni de la somme de leurs coefficients.

Cartes mémo

Définition du barycentre de \((A\,;a)\), \((B\,;b)\)

Unique point \(G\) tel que \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}\), avec \(a + b \neq 0\).

Construction de \(G\)

\(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\).

Réduction vectorielle

\(a\,\overrightarrow{MA} + b\,\overrightarrow{MB} = (a+b)\,\overrightarrow{MG}\) pour tout point \(M\).

Coordonnées de \(G\)

\(x_G = \dfrac{a\,x_A + b\,x_B}{a+b}\) et \(y_G = \dfrac{a\,y_A + b\,y_B}{a+b}\).

Isobarycentre

Coefficients égaux : milieu pour deux points, centre de gravité pour un triangle.

Associativité

On remplace \((A\,;a)\), \((B\,;b)\) par \((H\,;a+b)\), où \(H\) est leur barycentre.