Bases vectorielles, produit scalaire, multiplication par un réel
Bases vectorielles, produit scalaire, multiplication par un réel
Multiplier un vecteur par un réel l'allonge, le raccourcit ou le retourne ; deux vecteurs non colinéaires forment une base qui permet d'écrire tout vecteur avec des coordonnées ; le produit scalaire mesure « combien deux vecteurs vont dans le même sens » et repère les angles droits.
Objectifs
- Construire et calculer \( k\vec{u} \) et reconnaître deux vecteurs colinéaires.
- Savoir ce qu'est une base du plan et décomposer un vecteur dans une base.
- Calculer un produit scalaire avec les normes et l'angle, ou avec les coordonnées dans une base orthonormée.
- Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité ou calculer un angle.
1. Multiplication d'un vecteur par un réel
Soit \( \vec{u} \) un vecteur non nul et \( k \) un réel non nul. Le vecteur \( k\vec{u} \) a :
- la même direction que \( \vec{u} \) ;
- le même sens si \( k > 0 \), le sens contraire si \( k < 0 \) ;
- une norme (longueur) égale à \( |k| \times \|\vec{u}\| \).
Si \( k = 0 \) ou \( \vec{u} = \vec{0} \), alors \( k\vec{u} = \vec{0} \). En coordonnées : si \( \vec{u}(x\,;\,y) \), alors \( k\vec{u}(kx\,;\,ky) \).
Avec \( k = 2 \) : même direction, même sens, norme doublée.
Avec \( k = -1 \) : même direction, sens contraire, même norme.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires s'il existe un réel \( k \) tel que \( \vec{v} = k\vec{u} \) (ou si l'un est nul) : ils ont la même direction. Avec les coordonnées \( \vec{u}(x\,;\,y) \) et \( \vec{v}(x'\,;\,y') \) :
\[ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0 \]Exemple résolu
\( \vec{u}(2\,;\,3) \) et \( \vec{v}(-4\,;\,-6) \) sont-ils colinéaires ? Et \( \vec{u} \) et \( \vec{w}(3\,;\,5) \) ?
Si \( \vec{u}(4\,;\,-1) \), quelles sont les coordonnées de \( -3\vec{u} \) ?
2. Bases du plan et coordonnées
Deux vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) non colinéaires forment une base du plan. Pour tout vecteur \( \vec{w} \), il existe un unique couple de réels \( (a\,;\,b) \) tel que :
\[ \vec{w} = a\,\vec{i} + b\,\vec{j} \]Le couple \( (a\,;\,b) \) est le couple des coordonnées de \( \vec{w} \) dans la base \( (\vec{i}, \vec{j}) \). Avec un point origine \( O \), on obtient un repère \( (O\,;\,\vec{i}, \vec{j}) \).
La base est orthonormée si \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) sont orthogonaux et de norme 1. Dans ce cas, \( \|\vec{w}\| = \sqrt{a^2 + b^2} \).
Exemple résolu : décomposer un vecteur
Dans une base orthonormée, on donne \( \vec{u}(1\,;\,2) \), \( \vec{v}(3\,;\,1) \) et \( \vec{w}(7\,;\,4) \). Écris \( \vec{w} \) sous la forme \( a\vec{u} + b\vec{v} \).
On part de \( O \) et on avance de 2 fois le vecteur \( \vec{v} \).
Au bout, on ajoute une fois le vecteur \( \vec{u} \) (relation de Chasles).
On arrive exactement à l'extrémité de \( \vec{w} \) : donc \( \vec{w} = \vec{u} + 2\vec{v} \).
Lequel de ces couples de vecteurs forme une base du plan ?
3. Le produit scalaire
Définition avec l'angle
Pour deux vecteurs non nuls \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) formant un angle \( \theta \) :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta \]Si l'un des vecteurs est nul, \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \). Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
- angle aigu (\( \theta < 90^{\circ} \)) : produit scalaire positif ;
- angle droit (\( \theta = 90^{\circ} \)) : produit scalaire nul ;
- angle obtus (\( \theta > 90^{\circ} \)) : produit scalaire négatif.
Manipule : le produit scalaire selon l'angle
Le graphique donne \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) en fonction de l'angle \( \theta \) en degrés (de 0 à 180), pour des normes \( a = \|\vec{u}\| \) et \( b = \|\vec{v}\| \) réglables. Repère où la courbe coupe l'axe : c'est toujours à 90°.
Avec les coordonnées (base orthonormée)
Dans une base orthonormée, si \( \vec{u}(x\,;\,y) \) et \( \vec{v}(x'\,;\,y') \) :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \qquad \text{et} \qquad \vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2 = \|\vec{u}\|^2 \]Propriétés
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \) (symétrie) ;
- \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \) et \( (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) \) ;
- \( \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).
Exemple résolu 1 : avec l'angle
\( \|\vec{u}\| = 4 \), \( \|\vec{v}\| = 3 \) et l'angle entre eux vaut \( 60^{\circ} \). Calcule \( \vec{u} \cdot \vec{v} \).
Voir la solution
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 \times \cos 60^{\circ} = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \]Exemple résolu 2 : un triangle rectangle ?
Dans un repère orthonormé, \( A(1\,;\,1) \), \( B(4\,;\,2) \) et \( C(0\,;\,4) \). Le triangle \( ABC \) est-il rectangle en \( A \) ?
Exemple résolu 3 : calculer un angle
\( \vec{u}(2\,;\,2) \) et \( \vec{v}(0\,;\,3) \) dans une base orthonormée. Trouve l'angle \( \theta \) entre eux. Cherche d'abord !
Voir la solution
\begin{align} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 2 \times 0 + 2 \times 3 = 6 \\ \|\vec{u}\| &= \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}, \qquad \|\vec{v}\| = 3 \\ \cos\theta &= \frac{6}{2\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align}Donc \( \theta = 45^{\circ} \).
Dans une base orthonormée, \( \vec{u}(3\,;\,4) \) et \( \vec{v}(-4\,;\,3) \). Que peut-on dire ?
Deux vecteurs de normes 2 et 5 forment un angle de 120°. Leur produit scalaire est :
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