Bilan thermique du système Terre-atmosphère

La Terre est comme un compte en banque d'énergie : elle reçoit la lumière du Soleil, en renvoie une partie, et rayonne de l'infrarouge vers l'espace ; sa température moyenne reste stable quand les entrées et les sorties s'équilibrent.

Objectifs

Définir la constante solaire, l'albédo et la puissance surfacique moyenne reçue par la Terre.
Utiliser la loi de Stefan-Boltzmann et la loi de Wien pour décrire le rayonnement d'un corps.
Écrire le bilan d'énergie du système Terre-atmosphère et calculer une température d'équilibre.
Expliquer l'effet de serre et prévoir l'effet d'une variation de l'albédo ou des gaz à effet de serre.

1. Ce que la Terre reçoit du Soleil

La constante solaire

On appelle constante solaire \(S\) la puissance du rayonnement solaire reçue, au-dessus de l'atmosphère, par une surface de \(1\ \mathrm{m^2}\) placée perpendiculairement aux rayons. Les mesures par satellite donnent environ (source : NASA, mesures SORCE/TIM ; GIEC, AR6, 2021) :

\[S \approx 1\,361\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\]

Pourquoi diviser par 4 ?

La Terre intercepte les rayons comme un disque de surface \(\pi R^2\) (son « ombre »), mais cette énergie se répartit, grâce à la rotation, sur toute la sphère de surface \(4\pi R^2\). La puissance surfacique moyenne reçue au sommet de l'atmosphère vaut donc :

\[\varphi_{\text{reçu}} = \frac{S \times \pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{S}{4} \approx 340\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\]

L'albédo

Toute l'énergie reçue n'est pas absorbée. L'albédo \(A\) est la fraction du rayonnement solaire réfléchie vers l'espace (nuages, glace, déserts clairs, océans…) :

\[A = \frac{\varphi_{\text{réfléchi}}}{\varphi_{\text{reçu}}} \qquad 0 \le A \le 1\]

Pour la Terre, \(A \approx 0{,}30\) (GIEC, AR6, 2021 : environ \(100\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\) réfléchis sur \(340\)). Une surface enneigée a un albédo élevé, un océan ou une forêt sombre un albédo faible.

\[\varphi_{\text{absorbé}} = (1 - A)\,\frac{S}{4} \approx 0{,}70 \times 340 \approx 240\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\]

Pourquoi divise-t-on la constante solaire par 4 pour obtenir la puissance moyenne reçue par mètre carré de Terre ?

Parce que l'atmosphère absorbe les trois quarts du rayonnement.
Parce que la Terre ne reçoit le Soleil que 6 heures sur 24.
Parce que la surface de la sphère est 4 fois plus grande que le disque qui intercepte les rayons.

La Terre capte les rayons sur un disque \(\pi R^2\) mais l'énergie se répartit sur la sphère \(4\pi R^2\) : le rapport des deux surfaces vaut 4.

2. Tout corps chaud rayonne

Loi de Stefan-Boltzmann

Un corps noir de température absolue \(T\) (en kelvins) émet une puissance surfacique :

\[\varphi = \sigma\,T^4 \qquad \text{avec } \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}\]

La puissance varie comme la puissance quatrième de la température : si \(T\) double, \(\varphi\) est multipliée par \(2^4 = 16\).

Loi de Wien

La longueur d'onde du maximum d'émission est inversement proportionnelle à la température :

\[\lambda_{\max} \times T = 2{,}898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}\]

Soleil (\(T \approx 5\,800\ \mathrm{K}\)) : \(\lambda_{\max} \approx 0{,}5\ \mathrm{\mu m}\), dans le visible.
Terre (\(T \approx 288\ \mathrm{K}\)) : \(\lambda_{\max} \approx 10\ \mathrm{\mu m}\), dans l'infrarouge.

Exemple résolu 1 : le rayonnement de la surface terrestre

La température moyenne de la surface terrestre est d'environ \(15\ ^{\circ}\mathrm{C}\). Calcule la puissance surfacique qu'elle rayonne (on l'assimile à un corps noir), puis la longueur d'onde de son maximum d'émission.

Conversion en kelvins : \(T = 15 + 273 = 288\ \mathrm{K}\).

Stefan-Boltzmann : \[\varphi = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 288^4 = 5{,}67 \times 10^{-8} \times 6{,}88 \times 10^{9} \approx 390\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\]

Wien : \[\lambda_{\max} = \frac{2{,}898 \times 10^{-3}}{288} \approx 1{,}0 \times 10^{-5}\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{\mu m}\] C'est de l'infrarouge.

Conclusion : la surface émet environ \(390\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\), bien plus que les \(240\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\) absorbés du Soleil. Il manque une source : c'est l'atmosphère qui la réchauffe (partie 4).

Si la température absolue d'un corps noir double, sa puissance surfacique rayonnée est multipliée par :

\(\varphi = \sigma T^4\) : \((2T)^4 = 16\,T^4\). La puissance est multipliée par 16.

3. Le bilan d'énergie et la température d'équilibre

Le principe

En régime permanent (température moyenne constante), le système Terre-atmosphère vu de l'espace est en équilibre radiatif :

\[\underbrace{(1 - A)\,\frac{S}{4}}_{\text{absorbé (visible)}} = \underbrace{\sigma\,T_e^4}_{\text{émis (infrarouge)}}\]

d'où la température d'équilibre radiatif :

\[T_e = \left(\frac{(1 - A)\,S}{4\sigma}\right)^{1/4}\]

Exemple résolu 2 : une Terre sans effet de serre

On prend \(S = 1\,361\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\) et \(A = 0{,}30\). Calcule \(T_e\) et compare à la température moyenne réelle de la surface (\(15\ ^{\circ}\mathrm{C}\)). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Puissance absorbée : \[(1 - 0{,}30) \times \frac{1\,361}{4} = 0{,}70 \times 340 \approx 238\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\]

Équilibre : \[T_e^4 = \frac{238}{5{,}67 \times 10^{-8}} \approx 4{,}20 \times 10^{9}\ \mathrm{K^4}\]

Racine quatrième : \(T_e \approx 255\ \mathrm{K}\), soit environ \(-18\ ^{\circ}\mathrm{C}\).

Comparaison : la surface est en réalité à environ \(288\ \mathrm{K}\) : il y a un écart d'environ \(33\ ^{\circ}\mathrm{C}\). Cet écart est dû à l'effet de serre.

Manipule : l'albédo et la puissance du Soleil

Ci-dessous, la courbe donne \(T_e\) en degrés Celsius en fonction de l'albédo \(x\) (de 0 à 1). Le curseur \(k\) multiplie la puissance solaire (\(k = 1\) : Soleil actuel). Repère la valeur pour \(x = 0{,}3\), puis observe ce qui se passe si la Terre devient plus claire (plus de glace) ou plus sombre.

Si la glace des pôles fond et laisse place à l'océan sombre, que devient l'albédo, et quel est l'effet sur la température ?

L'albédo diminue, la Terre absorbe plus : la température augmente.
L'albédo augmente, la Terre absorbe plus : la température augmente.
L'albédo diminue, la Terre absorbe moins : la température baisse.

L'océan réfléchit moins que la glace : \(A\) diminue, \((1-A)\) augmente, la puissance absorbée et donc \(T_e\) augmentent. C'est une rétroaction qui amplifie le réchauffement.

4. Le rôle de l'atmosphère : l'effet de serre

Le mécanisme

L'atmosphère est presque transparente au rayonnement solaire visible : il atteint en grande partie le sol.
Le sol chauffé émet de l'infrarouge. Certains gaz, les gaz à effet de serre (vapeur d'eau \(\ce{H2O}\), dioxyde de carbone \(\ce{CO2}\), méthane \(\ce{CH4}\)…), absorbent une grande partie de cet infrarouge.
L'atmosphère réchauffée rayonne à son tour dans toutes les directions : une partie part vers l'espace, une partie revient vers le sol (rayonnement « de retour »).
Le sol reçoit donc le Soleil et l'atmosphère : il est plus chaud que \(T_e\).

Le Soleil apporte en moyenne environ 340 W par mètre carré au sommet de l'atmosphère.

Environ 100 W par mètre carré sont réfléchis par les nuages, les gaz et le sol clair : c'est l'albédo, environ 0,30.

Le sol chauffé émet de l'infrarouge, absorbé en grande partie par les gaz à effet de serre.

L'atmosphère réémet de l'infrarouge : environ 240 W par mètre carré partent vers l'espace (autant qu'absorbé) et une grande partie revient vers le sol, qui se réchauffe.

Valeurs moyennes arrondies d'après GIEC, AR6, 2021, chapitre 7 (en \(\mathrm{W\cdot m^{-2}}\)).

Un modèle simple à une couche

Supposons une atmosphère transparente au visible et qui absorbe tout l'infrarouge du sol, à la température \(T_a\). On note \(T_s\) la température du sol et \(\varphi_0 = (1-A)\,\dfrac{S}{4}\).

Bilan de l'ensemble vu de l'espace : seule l'atmosphère rayonne vers l'espace : \(\sigma T_a^4 = \varphi_0\), donc \(T_a = T_e \approx 255\ \mathrm{K}\).

Bilan de l'atmosphère : elle reçoit \(\sigma T_s^4\) du sol et émet vers le haut et vers le bas : \[\sigma T_s^4 = 2\,\sigma T_a^4\]

Température du sol : \[T_s = 2^{1/4}\,T_e \approx 1{,}19 \times 255 \approx 303\ \mathrm{K}\] soit environ \(30\ ^{\circ}\mathrm{C}\).

Interprétation : ce modèle surestime un peu la température réelle (\(288\ \mathrm{K}\)), car la vraie atmosphère n'absorbe pas tout l'infrarouge et il existe aussi des échanges par convection et évaporation. Mais il montre bien que l'effet de serre réchauffe le sol.

Résumé du mécanisme :

flowchart LR
A[Soleil visible] --> B[Sol absorbe et chauffe]
A --> R[Reflexion vers espace]
B --> C[Sol emet infrarouge]
C --> D[Gaz a effet de serre absorbent]
D --> E[Atmosphere reemet]
E --> B
E --> F[Infrarouge vers espace]

Dans quel domaine de rayonnement les gaz à effet de serre absorbent-ils principalement l'énergie émise par la Terre ?

Le visible
L'infrarouge
L'ultraviolet

D'après la loi de Wien, la Terre (environ \(288\ \mathrm{K}\)) émet surtout vers \(10\ \mathrm{\mu m}\), dans l'infrarouge : c'est ce rayonnement que \(\ce{H2O}\), \(\ce{CO2}\) et \(\ce{CH4}\) absorbent.

5. Exercice d'entraînement

Une planète reçoit une constante solaire \(S = 2\,600\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\) et son albédo vaut \(A = 0{,}75\) (épais nuages très clairs). Calcule sa température d'équilibre radiatif \(T_e\).

Voir la solution

\[\varphi_0 = (1 - 0{,}75) \times \frac{2\,600}{4} = 0{,}25 \times 650 = 162{,}5\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\] \[T_e = \left(\frac{162{,}5}{5{,}67 \times 10^{-8}}\right)^{1/4} = \left(2{,}87 \times 10^{9}\right)^{1/4} \approx 231\ \mathrm{K}\]

Malgré un Soleil presque deux fois plus fort, la planète est plus froide que la Terre « sans effet de serre » car elle réfléchit les trois quarts de la lumière. Si sa surface est en réalité bien plus chaude, c'est le signe d'un effet de serre très puissant.

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser \(S\) par 4 : on obtient une température beaucoup trop élevée.
Utiliser \(\theta\) en degrés Celsius dans \(\sigma T^4\) au lieu de \(T\) en kelvins.
Confondre l'albédo (fraction réfléchie) avec la fraction absorbée \(1 - A\).
Penser que l'atmosphère chauffe surtout par le Soleil : elle est chauffée principalement par le sol (infrarouge, convection, évaporation).

Récapitulatif

Puissance moyenne reçue : \(\dfrac{S}{4} \approx 340\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\) ; absorbée : \((1-A)\dfrac{S}{4} \approx 240\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}\).
Rayonnement d'un corps noir : \(\varphi = \sigma T^4\) ; maximum à \(\lambda_{\max} = \dfrac{2{,}898 \times 10^{-3}}{T}\).
Équilibre : \((1-A)\dfrac{S}{4} = \sigma T_e^4\), d'où \(T_e \approx 255\ \mathrm{K}\) pour la Terre.
L'effet de serre (absorption de l'infrarouge par \(\ce{H2O}\), \(\ce{CO2}\), \(\ce{CH4}\)…) porte la surface à environ \(288\ \mathrm{K}\).

Constante solaire

Puissance solaire reçue hors atmosphère par 1 m² perpendiculaire aux rayons : environ 1 361 W par m².

Albédo

Fraction du rayonnement solaire réfléchie ; environ 0,30 pour la Terre.

Loi de Stefan-Boltzmann

Puissance surfacique émise \(\varphi = \sigma T^4\), avec \(T\) en kelvins.

Loi de Wien

\(\lambda_{\max} T = 2{,}898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}\) : Soleil dans le visible, Terre dans l'infrarouge.

Température d'équilibre

\((1-A)\frac{S}{4} = \sigma T_e^4\) donne environ 255 K, soit −18 °C, pour la Terre.

Effet de serre

Absorption de l'infrarouge terrestre par certains gaz puis réémission vers le sol : surface vers 15 °C au lieu de −18 °C.