Un radical est une écriture compacte pour une racine (surtout carrée) ; on apprend à le simplifier, le combiner et l'utiliser dans des équations.

Calcul avec les radicaux

Thème : Calcul littéral et équations — Niveau : 2nde

Objectifs

Connaître la notation et le vocabulaire : radicande, indice, racine principale.
Savoir simplifier et développer des expressions avec des racines carrées.
Savoir rationnaliser un dénominateur et résoudre des équations comportant une racine.

Notions clés

Définitions

Pour \(a\ge 0\), la racine carrée de \(a\) est notée \(\sqrt{a}\) et vérifie \((\sqrt{a})^{2}=a\). Dans \(\sqrt[n]{a}\), le nombre \(n\) est l'indice et \(a\) la radicande.

Propriétés utiles (pour \(a\ge 0, b\ge 0\))

Produit sous la racine : \(\sqrt{a\,b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\).
Quotient : \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) si \(b>0\).
Puissance : \((\sqrt{a})^{2}=a\) et \(\sqrt{a^{2}}=|a|\) en général (attention au signe!).

Parmi ces égalités, laquelle est toujours vraie pour \(a,b\ge 0\) ?

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\)
\(\sqrt{a^2}=a\)

La propriété de produit (option 2) est vraie pour \(a,b\ge 0\). Attention à la somme et au signe de \(\sqrt{a^2}\) qui vaut \(|a|\).

Exemples résolus

Exemple 1 — Simplifier \(\sqrt{50}\)

Étape 1 : factoriser le radicande \(50=25\times 2\).

Étape 2 : utiliser \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\) pour extraire le carré parfait :

\begin{align} \sqrt{50} &= \sqrt{25\times 2} \\ &= \sqrt{25}\,\sqrt{2} \\ &= 5\sqrt{2}. \end{align}

Quelle est la forme simplifiée de \(\sqrt{72}\) ?

\(6\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{8}\)
\(\sqrt{36}+\sqrt{2}\)

On factorise \(72=36\times 2\) donc \(\sqrt{72}=\sqrt{36}\,\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).

Exemple 2 — Rationnaliser le dénominateur : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Voir la solution

Multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{2}\) :

\[ \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \]

Exemple 3 — Résoudre une équation avec une racine : \(\sqrt{x+3}=5\)

Étape 1 : Vérifier le domaine : il faut \(x+3\ge 0\), donc \(x\ge -3\).

Étape 2 : Élever au carré les deux membres (opération valable si on fait attention au domaine) :

\begin{align} \sqrt{x+3}=5 &\implies (\sqrt{x+3})^{2}=5^{2} \\ &\implies x+3=25 \\ &\implies x=22. \end{align}

Étape 3 : Vérification : \(x=22\) donne \(\sqrt{25}=5\), solution acceptable.

Quelle est la (ou les) solution(s) de \(\sqrt{x-1}=3\) ?

Aucune
\(x=-8\)
\(x=10\)

Élever au carré donne \(x-1=9\) donc \(x=10\). On vérifie le domaine : \(x\ge 1\), donc 10 convient.

Schéma : position des racines sur une demi-droite graduée

Erreurs fréquentes et conseils

Autre piège : appliquer les propriétés de produit seulement quand les radicandes sont non négatifs (dans le cadre réel). Avant d'élever au carré dans une équation, vérifier le domaine.

Que vaut \(\sqrt{(-3)^2}\) ?

-3
3
Impossible

\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\). En général \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Récapitulatif

Notation : \(\sqrt{a}\) pour racine carrée, \(\sqrt[n]{a}\) pour racine d'indice \(n\).
Simplifier en extrayant les carrés parfaits et en respectant les domaines.
Rationnaliser un dénominateur en multipliant par un conjugué si nécessaire.
Résoudre une équation avec radical : isoler le radical, élever au carré, vérifier les solutions.

Radicande

Le nombre sous le signe radical (ex. dans \(\sqrt{a}\), \(a\) est la radicande).

Indice

Nombre indiquant la racine (par défaut \(2\) pour la racine carrée).

Extraire un carré

Factoriser le radicande en carrés parfaits pour simplifier (ex. \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)).

Rationnaliser

Éliminer la racine au dénominateur en multipliant par un facteur approprié (ex. \(1/\sqrt{2}=\sqrt{2}/2\)).