Savoir simplifier, opérer et résoudre des équations impliquant des racines carrées en respectant les conditions d'existence et les signes.

Calcul avec les radicaux

Thème : Calcul littéral et équations — Détail : Calcul avec les radicaux (niveau 2nde)

Objectifs

Comprendre la notation des racines et les conditions d'existence.
Savoir simplifier un radical en sortant les facteurs carrés.
Effectuer des opérations (produit, quotient, addition) avec des radicaux semblables.
Résoudre une équation contenant une racine carrée en évitant les solutions extraites.

Notions clés

Définition et propriétés

La racine carrée de \(a\) (pour \(a\ge 0\)) se note \(\sqrt{a}\) et vérifie \((\sqrt{a})^2=a\). Pour tout réel \(a\), on a la propriété importante :

\(\sqrt{a^2}=|a|\) (attention au signe).

Propriétés pour \(a\ge 0\) et \(b\ge 0\) :

Produit : \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\).
Quotient : \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) si \(b>0\).
Puissance : \(\sqrt{a^2}=|a|\) (rappel du signe).

Simplification d'un radical

On cherche les facteurs carrés à l'intérieur du radical. Exemple : simplifier \(\sqrt{72}\).

Voir la solution

On cherche un carré à l'intérieur du radical :

\[ \begin{align} \sqrt{72} &= \sqrt{36\times 2} \\\ &= \sqrt{36}\,\sqrt{2} \\\ &= 6\sqrt{2}. \end{align} \]

Donc \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\).

Quel est le résultat de \(\sqrt{50}\) simplifié ?

\(5\sqrt{5}\)
\(5\sqrt{2}\)
\(10\sqrt{5}\)

\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\), donc la réponse 2 est correcte.

Opérations avec des radicaux

On peut additionner ou soustraire des radicaux seulement s'ils sont semblables (même partie sous le signe \(\sqrt{\cdot}\)).

Règle : \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\).

Étape 1 : vérifier que les radicaux sont semblables (même \(b\)).

Étape 2 : additionner les coefficients (les nombres devant \(\sqrt{b}\)).

Exemple : calculer \(3\sqrt{8}+\sqrt{2}\).

Voir la solution

On simplifie d'abord \(\sqrt{8}\) :

\[ \begin{align} \sqrt{8} &= \sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}, \\\ 3\sqrt{8}+\sqrt{2} &= 3\times(2\sqrt{2})+\sqrt{2} = 6\sqrt{2}+\sqrt{2} = 7\sqrt{2}. \end{align} \]

Quelle est la valeur de \(2\sqrt{18}-\sqrt{8}\) simplifiée ?

\(2\sqrt{2}\)
\(8\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{2}\)

\(\sqrt{18}=3\sqrt{2},\ \sqrt{8}=2\sqrt{2}\) donc \(2\times3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).

Équations contenant un radical

Procédé général pour résoudre une équation du type \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) :

Imposer la condition d'existence : \(f(x)\ge 0\) et souvent \(g(x)\) doit être \(\ge 0\) si on veut une égalité vraie.
Élever au carré les deux membres : on obtient \(f(x)=g(x)^2\).
Résoudre l'équation obtenue, puis vérifier (éventuelles solutions extraites à rejeter).

Exemple : résoudre \(\sqrt{x+3}=x-1\).

Étape 1 : condition d'existence — il faut \(x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3\) et aussi \(x-1\) doit être \(\ge 0\) pour que la racine carrée égale un réel non négatif, donc on impose \(x\ge 1\).

Étape 2 : élever au carré et résoudre.

\[ \begin{align} \sqrt{x+3}=x-1 &\Rightarrow x+3=(x-1)^2 \\\ &\Rightarrow x+3=x^2-2x+1 \\\ &\Rightarrow 0=x^2-3x-2 \\\ &\Rightarrow 0=(x-\tfrac{3}{2})^2-\tfrac{25}{4} \quad\text{(ou utiliser le discriminant)}. \end{align} \]

Étape 3 : solutions du trinôme : \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}\). On garde celles qui vérifient \(x\ge 1\).

Étape 4 : vérification : remplacer dans l'équation initiale pour éliminer les extraits si besoin.

Si \(\sqrt{x+3}=x-1\), laquelle des propositions suivantes peut être une solution ?

\(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\)
\(-1\)
\(\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\)

Seules les solutions \(\ge 1\) sont possibles : \(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}>1\) est acceptable; l'autre racine est <1.

Erreurs fréquentes

Autres erreurs :

Élever au carré sans vérifier le domaine — on introduit parfois des «solutions extraites» qui ne satisfont pas l'équation initiale.
Tenter d'additionner \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) comme s'ils étaient semblables.

Récapitulatif

Simplifier en sortant les facteurs carrés : \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\) (si \(a,b\ge 0\)).
Addition : seulement des radicaux semblables se combinent comme des termes semblables.
Équations : imposer le domaine, élever au carré, résoudre, puis vérifier.

Cartes mémo

Définition

\(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) (pour \(a\ge0\)).

Produit

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\) si \(a,b\ge0\).

Somme

Seuls les radicaux semblables s'additionnent : \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\).

Équation

Isoler la racine, imposer le domaine, élever au carré, résoudre, vérifier.