Les radicaux permettent d'exprimer des racines : apprendre à les simplifier, les opérationnaliser et r\'ationaliser les dénominateurs facilite les calculs algébriques.

Calcul avec les radicaux

Thème : Calcul littéral et équations — Niveau : 2nde

Objectifs

Reconnaître et manipuler un radical \(\sqrt[n]{a}\).
Simplifier des radicaux et effectuer des opérations (addition, multiplication, puissance).
Rationaliser un dénominateur contenant un radical.
Résoudre des équations simples impliquant des racines carrées.

Notions clés

1. Définition et notation

Le radical d'indice \(n\) de \(a\) s'écrit \(\sqrt[n]{a}\). Pour le cas le plus courant, l'indice \(n=2\) est souvent abrégé : \(\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}\).

Condition de définitions (nombres réels) :

Si \(n\) est pair alors on exige \(a\ge 0\) pour que \(\sqrt[n]{a}\) soit réel.
Si \(n\) est impair, \(\sqrt[n]{a}\) est défini pour tout \(a\in\mathbb{R}\).

2. Propriétés utiles

Règles principales (pour \(a,b\ge 0\) et indices appropriés) :

Produit : \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}\).
Quotient : \(\sqrt[n]{\tfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) si \(b>0\).
Puissances : \(\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^m= a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).

Question : pour \(a=9\) et \(b=4\), quelle égalité est vraie ?

\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\)
\(\sqrt{a^2+b^2}=a+b\)

La bonne réponse est 2 : \(\sqrt{9\cdot4}=\sqrt{36}=6\) et \(\sqrt{9}\,\sqrt{4}=3\cdot2=6\).

Simplifier un radical

Méthode : factoriser le nombre sous le radical et extraire les puissances complètes correspondant à l'indice.

flowchart LR
      A(Décomposer le radicand) --> B(Repérer puissances complètes)
      B --> C(Extraire hors du radical)
      C --> D(Simplifier le reste)

Exemple 1 — Simplifier \(\sqrt{72}\)

Étape 1 : factoriser \(72=2^3\cdot3^2\).

Étape 2 : regrouper les carrés : \(72=(2^2)\cdot(3^2)\cdot2\).

Étape 3 : extraire les carrés : \(\sqrt{72}=\sqrt{(2^2)(3^2)\cdot2}=2\cdot3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).

Voir un autre exemple (chercher d'abord)

Exemple 2 — Simplifier \(\sqrt[3]{54}\)

Étape 1 : factoriser \(54=2\cdot3^3\).

Étape 2 : extraire le cube complet \(3^3\) : \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{3^3\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\).

Question : quelle est la forme simplifiée de \(\sqrt{200}\) ?

\(10\sqrt{2}\)
\(5\sqrt{4}\)
\(10\sqrt{2}\)

La bonne réponse est 3 (identique à 1) : \(200=2^3\cdot5^2\) donc \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\).

Opérations avec des radicaux

Addition et soustraction

On ne peut additionner que des radicaux « semblables » (même indice et même partie sous le radical après simplification).

Exemple : \(2\sqrt{8}+3\sqrt{2}\). Simplifier \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) donc

On obtient \(2\cdot2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\).

Question : \(\sqrt{18}+\sqrt{8}=\ ?\)

\(3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{26}\)
\(\sqrt{144}\)

Simplifier : \(\sqrt{18}=3\sqrt{2},\ \sqrt{8}=2\sqrt{2}\), somme = \(5\sqrt{2}\).

Multiplication

Règle : \(\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\). Utiliser pour simplifier des produits.

Exemple : \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\).

On peut aussi multiplier coefficients et radicaux : \(2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{2}=6\sqrt{10}\).

Question : calculer \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}\).

\(\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{36}=6\)
\(\sqrt{20}\)

\(\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\).

Rationaliser un dénominateur

Méthode pour les cas courants :

Si le dénominateur est \(\sqrt{a}\), multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{a}\) pour obtenir \(\dfrac{b\sqrt{a}}{a}\).
Si le dénominateur est \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\), multiplier par la conjugée \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\).

Exemple — Rationaliser \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\)

Étape 1 : multiplier par \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\).

Étape 2 : \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\).

Exemple — Rationaliser \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\)

Étape 1 : multiplier par la conjugée \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\).

Étape 2 : calculer \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\).

Question : quelle est la forme rationalisée de \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\) ?

\(3\sqrt{5}\)
\(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)

Multiplier par \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) donne \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\).

Équations contenant des racines carrées

Méthode générale : isoler le radical puis élever au carré (en vérifiant les solutions obtenues dans l'équation de départ).

Exemple — Résoudre \(\sqrt{x+3}=x-1\)

Étape 1 : domaine : \(\sqrt{x+3}\) exige \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\). De plus le membre de droite doit être \(\ge0\) donc \(x-1\ge0\Rightarrow x\ge1\). Donc on cherchera \(x\ge1\).

Étape 2 : élever au carré : \(x+3=(x-1)^2\).

Étape 3 : développer et résoudre :

\(\begin{align} x+3 &= x^2-2x+1 \\ 0 &= x^2-3x-2 \\ 0 &= (x-\tfrac{3}{2})^2 - \tfrac{25}{4} \ \text{(ou factoriser)} \end{align}\)

Factorisation : \(x^2-3x-2=(x-\,\,? )...\) (on peut utiliser le discriminant) ; discriminant \(\Delta=9+8=17\). Solutions : \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}\).

Étape 4 : vérifier dans l'équation initiale : seuls les \(x\) qui donnent un membre droit \(\ge0\) et satisfont l'égalité sont retenus. Numériquement, \(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\approx3.56\) (valide), \(\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\approx-0.56\) (rejeté car <1). Donc solution : \(x=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\).

Question : l'équation \(\sqrt{2x-1}=3\) admet-elle une solution ?

Oui, \(x=5\)
Oui, \(x=4\)
Non

Résoudre : élever au carré \(2x-1=9\) donc \(2x=10\), \(x=5\). Vérification : \(\sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3\).

Erreurs fréquentes

Ne pas oublier les conditions d'existence pour les radicaux d'indice pair.
Après avoir élevé au carré pour résoudre une équation, vérifier les solutions (risque de solutions extranéennes).
Ne pas distribuer le radical sur une somme : \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\) en général.

Récapitulatif court

Un radical \(\sqrt[n]{a}\) correspond à la puissance \(a^{1/n}\).
Extraire des facteurs : repérer les puissances complètes de l'indice et les sortir du radical.
Rationaliser : multiplier par une quantité qui élimine le radical du dénominateur (parfois la conjugée).
Résoudre : isoler le radical, élever au carré, résoudre puis vérifier.

Cartes mémo

Radical

\(\sqrt[n]{a}=a^{1/n}\)

Produit

\(\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)

Extraire

Ex : \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)

Rationaliser

Multiplier par \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\) ou la conjugée

Après élévation au carré

Toujours vérifier les solutions