Objectifs

• Situer un nombre dans les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\).
• Appliquer les règles de calcul sur les puissances et l'écriture scientifique.
• Simplifier des racines carrées et rendre un dénominateur rationnel.
• Développer et factoriser avec les identités remarquables.
• Calculer une valeur absolue et l'interpréter comme une distance.

Notions clés

1. Les ensembles de nombres

• \(\mathbb{N}\) : les entiers naturels \(0, 1, 2, 3, \dots\)
• \(\mathbb{Z}\) : les entiers relatifs \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\)
• \(\mathbb{D}\) : les décimaux, qui s'écrivent \(\dfrac{a}{10^n}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) (par exemple \(2{,}75\) ou \(-0{,}3\)).
• \(\mathbb{Q}\) : les rationnels, quotients \(\dfrac{a}{b}\) d'entiers avec \(b \neq 0\) (par exemple \(\dfrac{1}{3}\)).
• \(\mathbb{R}\) : les réels, tous les nombres de la droite graduée, y compris \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\) qui ne sont pas rationnels.

flowchart LR
  N[Naturels N] --> Z[Relatifs Z]
  Z --> D[Decimaux D]
  D --> Q[Rationnels Q]
  Q --> R[Reels R]

2. Les puissances

Pour \(a\) réel et \(n\) entier naturel non nul : \(a^n = a \times a \times \dots \times a\) (\(n\) facteurs). Pour \(a \neq 0\) : \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).

Écriture scientifique : tout nombre décimal non nul s'écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\) (en valeur absolue) et \(n\) entier relatif. Par exemple, \(45\ 000 = 4{,}5 \times 10^4\) et \(0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}\).

3. Les racines carrées

Pour \(a \geq 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : \((\sqrt{a})^2 = a\). Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Simplifier \(\sqrt{a}\) : on cherche dans \(a\) le plus grand carré parfait. Par exemple \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\).

Rendre rationnel un dénominateur : on multiplie en haut et en bas par la racine du dénominateur : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

4. Les identités remarquables

L'aire totale du grand carré de côté \(a + b\) est la somme des quatre morceaux : \(a^2 + ab + ab + b^2\).

Développer, c'est transformer un produit en somme (lecture de gauche à droite). Factoriser, c'est transformer une somme en produit (lecture de droite à gauche).

Compare les deux courbes en bougeant \(a\) : la courbe de \((x + a)^2\) et celle de \(x^2 + a^2\) ne se confondent que si \(a = 0\). Le terme \(2ax\) fait la différence.

5. La valeur absolue

La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(|x|\), est sa distance à 0 sur la droite graduée :

Exemples : \(|-7| = 7\), \(|4{,}5| = 4{,}5\), \(|0| = 0\). Plus généralement, \(|a - b|\) est la distance entre les points d'abscisses \(a\) et \(b\).

Exemples résolus

Exemple 1 : puissances et écriture scientifique

Calcule \(A = \dfrac{2^3 \times 2^5}{2^4}\) et donne l'écriture scientifique de \(B = (3 \times 10^4) \times (5 \times 10^{-2})\).

Exemple 2 : somme de racines carrées

Écris \(C = \sqrt{18} + \sqrt{8}\) sous la forme \(a\sqrt{2}\).

Exemple 3 : développer puis factoriser

Développe \(D = (2x + 3)^2\), puis factorise \(E = 9x^2 - 16\) et \(F = x^2 - 6x + 9\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
• Puissances : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\) ; écriture scientifique \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq a < 10\).
• Racines : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\), mais \(\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\) en général.
• Identités : \((a + b)^2\), \((a - b)^2\), \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
• \(|x|\) est la distance de \(x\) à 0 ; \(|a - b|\) est la distance entre \(a\) et \(b\).