Calcul dans R : ensembles de nombres, puissances et racines carrées

Les nombres sont rangés dans des « familles » emboîtées jusqu'à l'ensemble R des réels, et l'on y calcule vite et juste grâce à quelques règles sur les puissances et les racines carrées.

Objectifs

Reconnaître à quel ensemble (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\)) appartient un nombre.
Utiliser les règles de calcul sur les puissances, y compris les exposants négatifs.
Écrire un nombre en notation scientifique.
Simplifier une racine carrée et rendre rationnel un dénominateur.
Éviter les erreurs classiques : \(\sqrt{a+b}\), \(-a^2\) et \((-a)^2\).

1. Les ensembles de nombres

On distingue cinq ensembles, chacun contenu dans le suivant :

\(\mathbb{N}\) : les entiers naturels \(0, 1, 2, 3, \dots\)
\(\mathbb{Z}\) : les entiers relatifs, positifs ou négatifs : \(-3, 0, 7, \dots\)
\(\mathbb{D}\) : les décimaux, qui s'écrivent \(\dfrac{a}{10^n}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\) : \(2{,}5\), \(-0{,}125\)…
\(\mathbb{Q}\) : les rationnels, qui s'écrivent \(\dfrac{a}{b}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b\) entier non nul : \(\dfrac{1}{3}\), \(-\dfrac{7}{4}\)…
\(\mathbb{R}\) : les réels, tous les nombres de la droite graduée, y compris \(\sqrt{2}\) et \(\pi\).

Chaque ensemble est contenu dans le suivant : \(5\) est dans tous, \(\sqrt{2}\) et \(\pi\) ne sont que dans \(\mathbb{R}\).

Exemple résolu 1 : classer des nombres

Donne le plus petit ensemble qui contient : \(-\dfrac{18}{6}\) ; \(\dfrac{7}{4}\) ; \(\dfrac{2}{3}\) ; \(\sqrt{49}\) ; \(\sqrt{5}\).

Voir la solution

\(-\dfrac{18}{6} = -3\) : entier négatif, donc \(\mathbb{Z}\).
\(\dfrac{7}{4} = 1{,}75\) : écriture décimale finie, donc \(\mathbb{D}\).
\(\dfrac{2}{3} = 0{,}666\dots\) : pas décimal, mais quotient d'entiers, donc \(\mathbb{Q}\).
\(\sqrt{49} = 7\), donc \(\mathbb{N}\).
\(\sqrt{5}\) n'est pas rationnel (5 n'est pas un carré parfait), donc \(\mathbb{R}\).

Quel est le plus petit ensemble qui contient le nombre \(0{,}2\) ?

\(\mathbb{N}\)
\(\mathbb{Z}\)
\(\mathbb{D}\)
\(\mathbb{Q}\)

\(0{,}2 = \dfrac{2}{10}\) : c'est un décimal. Il est aussi dans \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\), mais le plus petit ensemble est \(\mathbb{D}\).

2. Les puissances

Pour un réel \(a\) et un entier \(n \geqslant 1\) : \(a^n = a \times a \times \dots \times a\) (\(n\) facteurs). Pour \(a \neq 0\), on pose \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).

Exemple résolu 2 : simplifier une expression

Calcule \(A = \dfrac{2^3 \times 2^{-5}}{2^{-4}}\) et \(B = (3^2)^3 \times 3^{-4}\).

Numérateur de A : \(2^3 \times 2^{-5} = 2^{3+(-5)} = 2^{-2}\).

Quotient : \(A = \dfrac{2^{-2}}{2^{-4}} = 2^{-2-(-4)} = 2^{2} = 4\).

Pour B : \((3^2)^3 = 3^{6}\), puis \(3^6 \times 3^{-4} = 3^{2} = 9\).

Exemple résolu 3 : notation scientifique

Calcule \(C = 250\,000 \times 0{,}003\) en passant par la notation scientifique.

Voir la solution

\[ C = 2{,}5 \times 10^{5} \times 3 \times 10^{-3} = (2{,}5 \times 3) \times 10^{5-3} = 7{,}5 \times 10^{2} = 750 \]

Combien vaut \(5^{-2}\) ?

-25
\(\dfrac{1}{25}\)
-10
25

Un exposant négatif donne l'inverse : \(5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\). Le résultat reste positif.

3. Les racines carrées

Pour \(a \geqslant 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré est \(a\) : \((\sqrt{a})^2 = a\). Pour tout réel \(x\), \(\sqrt{x^2} = |x|\) (par exemple \(\sqrt{(-5)^2} = 5\)).

Exemple résolu 4 : simplifier et réduire

Écris \(D = \sqrt{50} + \sqrt{8} - \sqrt{18}\) sous la forme \(a\sqrt{2}\).

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\).

\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\) et \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\).

On regroupe comme des « paquets de \(\sqrt{2}\) » : \(D = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).

Exemple résolu 5 : rendre le dénominateur rationnel

Écris sans racine au dénominateur : \(E = \dfrac{3}{\sqrt{3}}\) et \(F = \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\).

Voir la solution

\begin{align} E &= \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \\ F &= \frac{1 \times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 \end{align}

Pour \(F\), on multiplie par l'expression conjuguée \(\sqrt{2}-1\) et on utilise \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

Quelle est la forme simplifiée de \(\sqrt{12}\) ?

\(2\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{2}\)
\(4\sqrt{3}\)
\(6\sqrt{2}\)

\(12 = 4 \times 3\) et \(\sqrt{4} = 2\), donc \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Erreurs fréquentes

Croire que \(\dfrac{1}{3}\) est décimal : son écriture décimale est illimitée.
Multiplier les exposants dans \(a^m \times a^n\) : on les additionne.
Confondre \(-3^2 = -9\) et \((-3)^2 = 9\).
Écrire \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) : c'est faux.
Oublier que \(\sqrt{x^2} = |x|\) et non \(x\) quand \(x\) est négatif.

Récapitulatif

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) ; on simplifie un nombre avant de le classer.
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\), mais \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Pour enlever une racine du dénominateur : multiplier par la racine, ou par l'expression conjuguée.

Les ensembles de nombres

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

Nombre rationnel

Quotient \(\dfrac{a}{b}\) de deux entiers, avec \(b \neq 0\)

Produit de puissances de même base

On additionne les exposants : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

Exposant négatif

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) : c'est l'inverse, pas un nombre négatif

Racine d'un produit

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour \(a\) et \(b\) positifs

Expression conjuguée

Celle de \(\sqrt{a} + b\) est \(\sqrt{a} - b\) ; leur produit vaut \(a - b^2\)