Calcul dans R : fractions, identités remarquables et encadrements en exercices progressifs corrigés

Calculer juste dans R, c'est maîtriser trois savoir-faire qui reviennent partout en Seconde : le calcul fractionnaire, les identités remarquables (pour développer, factoriser et simplifier des radicaux) et les encadrements ; on les travaille ici par exercices de difficulté croissante.

Objectifs

Calculer avec des fractions en respectant les priorités et donner le résultat sous forme irréductible.
Développer et factoriser avec les trois identités remarquables.
Utiliser les identités pour calculer mentalement et pour rendre rationnel un dénominateur.
Encadrer une somme, une différence, un produit et un inverse à partir d'encadrements donnés.
Repérer et éviter les erreurs de calcul les plus fréquentes.

1. Le calcul fractionnaire

Pour \(b\neq 0\) et \(d\neq 0\) :

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \qquad \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\ \ (c\neq 0)\]

Les priorités sont les mêmes qu'avec les entiers : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. En pratique, on prend le plus petit dénominateur commun plutôt que \(bd\).

Exercice 1 (niveau 1)

Calcule \(A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4}{5}\).

La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{5}{6}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}\).

Puis la soustraction : \(A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0\).

Exercice 2 (niveau 2)

Calcule \(B=\dfrac{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}\) et donne le résultat sous forme irréductible.

Voir la solution

\[\begin{align} \frac{3}{4}-\frac{1}{2} &= \frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4} \\ 1+\frac{1}{4} &= \frac{4}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \\ B &= \frac{1}{4}\div\frac{5}{4}=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{1}{5} \end{align}\]

Combien vaut 1/2 + 1/3 × 3/4 ?

On multiplie d'abord : 1/3 × 3/4 = 1/4. Puis 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.

2. Les identités remarquables

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\begin{align} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\ (a-b)(a+b) &= a^2-b^2 \end{align}\]

Manipule le curseur : les deux courbes \(y=(x+a)^2\) et \(y=x^2+a^2\) ne se superposent que lorsque \(a=0\). C'est la preuve visuelle que \((x+a)^2\neq x^2+a^2\) en général.

Exercice 3 (niveau 1) : développer

Développe \((2x-3)^2\), \((x+5)(x-5)\) et \((3x+1)^2\).

\((2x-3)^2=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2=4x^2-12x+9\).

\((x+5)(x-5)=x^2-5^2=x^2-25\).

\((3x+1)^2=9x^2+2\times 3x\times 1+1=9x^2+6x+1\).

Exercice 4 (niveau 2) : factoriser

Factorise \(E=9x^2-16\), \(F=x^2+10x+25\), \(G=(x+1)^2-4\) et \(H=(2x+1)(x-3)+(2x+1)(x+4)\).

Voir la solution

\(E=(3x)^2-4^2=(3x-4)(3x+4)\).

\(F=x^2+2\times x\times 5+5^2=(x+5)^2\).

\(G=(x+1)^2-2^2=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)\).

\(H\) : le facteur commun est \((2x+1)\), donc \(H=(2x+1)\big[(x-3)+(x+4)\big]=(2x+1)(2x+1)=(2x+1)^2\).

Exercice 5 (niveau 3) : calcul mental et radicaux

Calcule sans calculatrice \(101^2\), \(99\times 101\) et \(49^2\), puis simplifie \((\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\), \((2+\sqrt{3})^2\) et écris \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\) sans racine au dénominateur.

\(101^2=(100+1)^2=10\,000+200+1=10\,201\).

\(99\times101=(100-1)(100+1)=10\,000-1=9\,999\).

\(49^2=(50-1)^2=2\,500-100+1=2\,401\).

\((\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4\).

\((2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}\).

On multiplie en haut et en bas par l'expression conjuguée \(\sqrt{3}+1\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\).

Quelle est la forme factorisée de 4x² − 12x + 9 ?

(2x − 3)²
(2x + 3)²
(2x − 3)(2x + 3)

4x² = (2x)², 9 = 3² et le terme du milieu est − 2 × 2x × 3 = − 12x : c'est le développement de (2x − 3)².

3. Les encadrements

Si \(a\le x\le b\) et \(c\le y\le d\), alors :

Somme : \(a+c\le x+y\le b+d\).
Différence : on écrit \(x-y=x+(-y)\) avec \(-d\le -y\le -c\), donc \(a-d\le x-y\le b-c\).
Produit, si \(a\), \(c\) sont positifs : \(ac\le xy\le bd\).
Inverse, si \(0

Exercice 6 (niveau 2)

On sait que \(1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5\) et \(1{,}7<\sqrt{3}<1{,}8\). Encadre \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\), \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\), \(\sqrt{6}\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Somme : \(1{,}4+1{,}7<\sqrt{2}+\sqrt{3}<1{,}5+1{,}8\), soit \(3{,}1<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3{,}3\).

Différence : \(-1{,}5<-\sqrt{2}<-1{,}4\), donc \(1{,}7-1{,}5<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1{,}8-1{,}4\), soit \(0{,}2<\sqrt{3}-\sqrt{2}<0{,}4\).

Produit (tout est positif) : \(\sqrt{6}=\sqrt{2}\times\sqrt{3}\), donc \(1{,}4\times1{,}7<\sqrt{6}<1{,}5\times1{,}8\), soit \(2{,}38<\sqrt{6}<2{,}7\).

Inverse : \(\dfrac{1}{1{,}5}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1{,}4}\), soit environ \(0{,}666<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<0{,}715\).

Exercice 7 (niveau 3) : le terrain du maçon

Avec \(24{,}5\le L\le 25{,}5\) et \(15{,}5\le \ell\le 16{,}5\) (en mètres), encadre le périmètre \(P=2(L+\ell)\) et l'aire \(S=L\times \ell\).

Voir la solution

\[\begin{align} 40 \le L+\ell &\le 42 \\ 80 \le P &\le 84 \\ 24{,}5\times15{,}5 \le S &\le 25{,}5\times16{,}5 \\ 379{,}75 \le S &\le 420{,}75 \end{align}\]

Le maçon doit prévoir au moins 84 m de grillage pour être sûr d'en avoir assez. L'aire est comprise entre 379,75 m² et 420,75 m² : l'incertitude sur l'aire est bien plus grande que sur chaque côté.

Si 2 ≤ x ≤ 5, quel est l'encadrement de 1/x ?

1/2 ≤ 1/x ≤ 1/5
2 ≤ 1/x ≤ 5
1/5 ≤ 1/x ≤ 1/2

Pour des nombres positifs, passer à l'inverse renverse l'ordre : la plus grande borne donne le plus petit inverse.

Erreurs fréquentes

\((a+b)^2=a^2+b^2\) : faux, il manque \(2ab\). Avec \(a=b=1\) : \(4\neq 2\).
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) : faux. Avec \(a=9\), \(b=16\) : \(\sqrt{25}=5\) mais \(3+4=7\).
\(-3^2=9\) : faux, \(-3^2=-9\) alors que \((-3)^2=9\).
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\) : faux, il faut un dénominateur commun.
Simplifier \(\frac{x+3}{3}\) en \(x\) : faux, on ne simplifie que des facteurs, pas des termes.
Soustraire ou diviser deux encadrements borne à borne : il faut passer par l'opposé ou l'inverse.

Récapitulatif

Fractions : dénominateur commun pour additionner, multiplier par l'inverse pour diviser, priorités respectées.
Identités : \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \((a-b)(a+b)\) servent à développer, factoriser, calculer mentalement et rationaliser.
Expression conjuguée : multiplier par \(\sqrt{a}+b\) supprime la racine de \(\sqrt{a}-b\).
Encadrements : on additionne directement ; pour une différence on passe par l'opposé, pour un quotient par l'inverse ; le produit borne à borne exige des nombres positifs.

(a + b)²

a² + 2ab + b²

(a − b)(a + b)

a² − b², utile pour factoriser une différence de deux carrés.

Rationaliser 1/(√3 − 1)

Multiplier en haut et en bas par √3 + 1 : on obtient (√3 + 1)/2.

Encadrer x − y

Encadrer − y (l'ordre s'inverse), puis additionner avec l'encadrement de x.

Encadrer 1/x

Si 0 < a ≤ x ≤ b, alors 1/b ≤ 1/x ≤ 1/a.