Calcul dans R : Inégalités et encadrements

Objectifs

Comprendre ce qu’on appelle encadrement et inégalité dans le cadre d’une fonction.
Savoir résoudre analytiquement des encadrements simples de fonctions linéaires et les vérifier à l’aide de R.
Utiliser des schémas et des outils numériques pour vérifier les résultats (plages de valeurs de x).

Notions clés

Inégalité et encadrement On étudie des expressions du type \( a \le f(x) \le b \) et on détermine l’intervalle des valeurs de x qui satisfont cette condition, puis on illustre cela avec des calculs dans le logiciel R.

Notation et résultats attendus :

Pour une fonction linéaire \( f(x) = m x + c \) et \( m \neq 0 \), l’encadrement \( a \le m x + c \le b \) donne :

\begin{align} a \le m x + c \le b \\ \begin{cases} \dfrac{a-c}{m} \le x \le \dfrac{b-c}{m} & (m>0) \\ \dfrac{b-c}{m} \le x \le \dfrac{a-c}{m} & (m<0) \end{cases} \end{align}

Exemple d’encadrement simple :

\begin{align} 0 \le 2x + 3 \le 10 \\ -3 \le 2x \le 7 \\ -\frac{3}{2} \le x \le \frac{7}{2} \end{align}

Rappel : on peut vérifier l’encadrement avec des valeurs dans R. Par exemple, pour \( f(x) = 2x+3 \) et l’intervalle \([0,10]\), on peut tester des valeurs de x et vérifier les conditions.

Étape 1 : écrire l’inégalité sous forme linéaire: \( 0 \le 2x+3 \le 10 \).

Étape 2 : isoler x dans les bornes: \(-3 \le 2x \le 7\)

Étape 3 : obtenir l’intervalle: \(-\frac{3}{2} \le x \le \frac{7}{2}\)

Voir la solution

Résolution complète: \[ 0 \le 2x+3 \le 10 \] \[ -3 \le 2x \le 7 \] \[ -\frac{3}{2} \le x \le \frac{7}{2} \]

Quel est l’encadrement de \(x\) lorsque \( 3 \le 2x + 4 \le 10 \) ?

\( -\frac{1}{2} \le x \le 3 \)
\( -2 \le x \le 2 \)
\( 0 \le x \le 3 \)
\( -1 \le x \le 4 \)

C’est la réponse 1: \( 3 \le 2x+4 \le 10 \) conduit à \(-1/2 \le x \le 3\).

Exemple résolu dans R

On prend \( f(x) = m x + c \) et on cherche \( x \) tel que \( a \le f(x) \le b \). Par exemple, avec \( m=2 \) et \( c=3 \) et l’encadrement \( 0 \le f(x) \le 10 \) :

Étape 1: écrire l’encadrement: \( 0 \le 2x+3 \le 10 \).

Étape 2: isoler x: \(-3 \le 2x \le 7\).

Étape 3: obtenir l’intervalle: \(-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{7}{2}\).

Dans R, on peut vérifier rapidement:

R code (à saisir dans la console) :
x <- seq(-10, 10, by = 0.1)
mask <- (0 <= 2*x + 3) & (2*x + 3 <= 10)
sol <- x[mask]
range(sol) # donne [-1.5, 3.5]

Voir la solution

Solution: l’ensemble des x vérifiant l’encadrement est x ∈ [ -3/2, 7/2 ].

Dans l’encadrement \( -2 \le 3x - 1 \le 4 \) quel est l’intervalle obtenu si \( 3x - 1 \) est isolé et divisé par 3 (en supposant \(3>0\)) ?

\( -1 \le x \le 5/3 \)
\( -1/3 \le x \le 5/9 \)
\( -1/2 \le x \le 5/3 \)

Réponse : il faut d’abord ajouter 1 puis diviser par 3: \(-2 \le 3x-1 \le 4 \Rightarrow -1 \le 3x \le 5 \Rightarrow -1/3 \le x \le 5/3\).

Erreurs fréquentes

Oublier le signe lors de la division par une quantité négative (changer l’orientation des bornes).
Négliger les cas limites (parfois l’encadrement n’inclut pas les bornes, etc.).

Cartes mémo

Encadrement

Pour a ≤ m x + c ≤ b, si m > 0, alors (a-c)/m ≤ x ≤ (b-c)/m; si m < 0, sens inverse.

Inégalité Linéaire

Résolution par isolation et division par le coefficient de x.

Vérification

Utiliser des tests numériques ou un graphique pour confirmer l’encadrement.

Schéma : ligne numérique et encadrement

Représentation graphique simple de l’encadrement sur une ligne numérique: -1/2 ≤ x ≤ 3.

Récapitulatif

L’encadrement d’une fonction linéaire se lit selon le signe de m.
Pour \( a \le m x + c \le b \) et \( m > 0 \) : \( x \in [ (a-c)/m, (b-c)/m ] \).
Pour \( m < 0 \) : l’intervalle s’inverse.
On peut vérifier avec R en testant les valeurs satisfaisant les inégalités.

Frise pédagogique (Mermaid)

flowchart LR
A(Début) --> B(Inégalité: a ≤ f(x) ≤ b)
B --> C(Solution: intervalle de x)
C --> D(Vérification dans R)
D --> E(Fin)