Objectifs

• Lire et écrire un intervalle de \(\mathbb{R}\), et passer d'une inégalité à un intervalle.
• Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles à l'aide de la droite graduée.
• Calculer une valeur absolue et l'interpréter comme une distance.
• Résoudre des équations et inéquations du type \(|x - a| = r\) et \(|x - a| \leqslant r\).

1. Les intervalles de R

Soit \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a \lt b\). Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes :

• \([a\,;b]\) : les réels \(x\) tels que \(a \leqslant x \leqslant b\) (intervalle fermé, bornes comprises) ;
• \(]a\,;b[\) : les réels \(x\) tels que \(a \lt x \lt b\) (intervalle ouvert, bornes exclues) ;
• \([a\,;b[\) : \(a \leqslant x \lt b\) ; et \(]a\,;b]\) : \(a \lt x \leqslant b\) ;
• \([a\,;+\infty[\) : \(x \geqslant a\) ; \(]-\infty\,;a[\) : \(x \lt a\).

Le crochet tourné vers l'intérieur indique que la borne est comprise, tourné vers l'extérieur qu'elle est exclue. Du côté de \(+\infty\) ou de \(-\infty\), le crochet est toujours ouvert : l'infini n'est pas un nombre.

Exemple résolu 1 : traduire en intervalle

Écrire sous forme d'intervalle : (a) \(-2 \leqslant x \lt 5\) ; (b) \(x \gt 3\) ; (c) \(x \leqslant \sqrt{2}\).

Intersection et réunion

Pour deux intervalles \(I\) et \(J\) :

• l'intersection \(I \cap J\) contient les réels qui sont à la fois dans \(I\) et dans \(J\) ;
• la réunion \(I \cup J\) contient les réels qui sont dans \(I\) ou dans \(J\) (ou dans les deux).

Exemple résolu 2

Avec \(I = [-2\,;5]\) et \(J = \,]1\,;8]\), déterminer \(I \cap J\) et \(I \cup J\).

2. La valeur absolue, une distance

La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(|x|\), est sa distance à 0 sur la droite graduée :

Plus généralement, pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre les points d'abscisses \(a\) et \(b\) est \(|a - b| = |b - a|\).

Exemple résolu 3 : enlever les barres

Écrire sans barres : \(A = |3 - \pi|\) et \(B = |\sqrt{2} - 2|\).

Manipule le graphique : la courbe \(y = |x - a|\) donne la distance entre \(x\) et \(a\). La droite horizontale \(y = r\) montre les \(x\) dont la distance à \(a\) vaut \(r\) (les deux points de rencontre) ou est inférieure à \(r\) (la partie de la courbe sous la droite).

3. Résoudre avec la valeur absolue

Pour un réel \(a\) et un réel \(r \gt 0\) :

• \(|x - a| = r\) équivaut à \(x = a - r\) ou \(x = a + r\) ;
• \(|x - a| \leqslant r\) équivaut à \(x \in [a - r\,;a + r]\) : l'intervalle de centre \(a\) et de rayon \(r\) ;
• \(|x - a| \gt r\) équivaut à \(x \in \,]-\infty\,;a - r[ \,\cup\, ]a + r\,;+\infty[\).

flowchart LR
  A[Ecrire sous la forme x moins a] --> B[Lire le centre a et le rayon r]
  B --> C[Placer a sur la droite]
  C --> D[Compter r de chaque cote]
  D --> E[Ecrire la solution]

Exemple résolu 4

Résoudre (a) \(|x - 3| = 2\) ; (b) \(|x + 1| \lt 3\) ; (c) \(|2x - 6| \leqslant 4\).

Exemple résolu 5 : le chemin inverse

Écrire l'intervalle \([2\,;8]\) à l'aide d'une valeur absolue.

Erreurs fréquentes

• Mettre un crochet fermé du côté de \(+\infty\) ou de \(-\infty\).
• Confondre intersection (« et », partie commune) et réunion (« ou », tout ce qui est couvert).
• Croire que \(|x| = x\) toujours : c'est faux pour \(x\) négatif.
• Lire le centre de \(|x + 1|\) comme \(1\) au lieu de \(-1\) : il faut d'abord écrire \(x - (-1)\).
• Oublier qu'une équation \(|x - a| = r\) avec \(r \gt 0\) a deux solutions, et qu'elle n'en a aucune si \(r \lt 0\).

Récapitulatif

• Un intervalle se lit avec ses crochets : vers l'intérieur, borne comprise ; vers l'extérieur, borne exclue ; toujours ouvert en l'infini.
• Intersection : partie commune ; réunion : partie couverte par l'un ou l'autre.
• \(|a - b|\) est la distance entre \(a\) et \(b\).
• \(|x - a| \leqslant r\) équivaut à \(x \in [a - r\,;a + r]\).