Calcul de l'aire d'un parallélogramme

Un parallélogramme, c'est un rectangle « penché » : on coupe un triangle d'un côté, on le recolle de l'autre, et son aire se calcule comme celle d'un rectangle, base fois hauteur.

Objectifs

Reconnaître la base et la hauteur correspondante d'un parallélogramme.
Comprendre pourquoi l'aire d'un parallélogramme est \(\mathcal{A} = b \times h\).
Calculer l'aire d'un parallélogramme à partir de ses dimensions, en respectant les unités.
Retrouver une base ou une hauteur quand on connaît l'aire.

1. Base et hauteur d'un parallélogramme

Notions clés

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux (et de même longueur).

La base \(b\) est l'un des côtés, choisi comme « sol » de la figure.
La hauteur \(h\) relative à cette base est la distance entre la base et le côté opposé : c'est un segment perpendiculaire à la base (il forme un angle droit avec elle).
Le côté penché (oblique) n'est pas la hauteur : il est plus long qu'elle.

Repère les éléments du parallélogramme \(ABCD\) ci-dessous : touche chaque point et choisis son nom.

Dans un parallélogramme, la hauteur relative à une base est…

le côté penché qui part de la base
la diagonale du parallélogramme
le segment perpendiculaire à la base qui la relie au côté opposé

La hauteur fait toujours un angle droit avec la base : c'est la distance « tout droit » entre la base et le côté opposé.

2. Pourquoi l'aire vaut « base fois hauteur »

Suis la transformation étape par étape :

On trace la hauteur h depuis D : elle tombe perpendiculairement sur la base.

La hauteur découpe un triangle sur la gauche du parallélogramme.

On déplace ce triangle à droite : on obtient un rectangle de longueur b et de largeur h, de même aire que le parallélogramme.

Fais varier la base \(b\) avec le curseur : la droite montre l'aire en fonction de la hauteur (en abscisse). Remarque que si la hauteur double, l'aire double aussi.

Quand on découpe le triangle et qu'on le recolle de l'autre côté, l'aire de la figure…

augmente
ne change pas
diminue

On n'a rien ajouté ni enlevé : on a seulement déplacé un morceau. Le rectangle obtenu a donc la même aire que le parallélogramme.

3. Exemples résolus

Exemple 1 : calcul direct

Un parallélogramme a une base de \(8\ \text{cm}\) et une hauteur relative de \(5\ \text{cm}\). Calcule son aire.

On écrit la formule : \(\mathcal{A} = b \times h\).

On vérifie les unités : les deux longueurs sont en centimètres.

On remplace : \[\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40\]

Conclusion : l'aire est \(40\ \text{cm}^2\).

Exemple 2 : une parcelle à Bouaké

Cherche d'abord, puis vérifie.

Voir la solution

\[\begin{align} \mathcal{A} &= b \times h = 12 \times 7{,}5 = 90\ \text{m}^2\\ \text{Prix} &= 90 \times 2\,000 = 180\,000\ \text{F CFA} \end{align}\]

Moussa recevra \(180\,000\) F CFA.

Exemple 3 : retrouver la hauteur

Un parallélogramme a une aire de \(54\ \text{cm}^2\) et une base de \(9\ \text{cm}\). Quelle est la hauteur relative à cette base ?

On part de \(\mathcal{A} = b \times h\), donc \(54 = 9 \times h\).

On cherche le nombre qui, multiplié par 9, donne 54 : on divise. \[h = \frac{\mathcal{A}}{b} = \frac{54}{9} = 6\]

Vérification : \(9 \times 6 = 54\). La hauteur mesure \(6\ \text{cm}\).

Exemple 4 : deux bases, deux hauteurs

Le parallélogramme \(ABCD\) a pour côtés \(AB = 10\ \text{cm}\) et \(AD = 6\ \text{cm}\). La hauteur relative au côté \([AB]\) mesure \(4{,}8\ \text{cm}\). Calcule l'aire, puis la hauteur relative au côté \([AD]\).

Voir la solution

Avec la base \([AB]\) : \[\mathcal{A} = 10 \times 4{,}8 = 48\ \text{cm}^2\]

Avec la base \([AD]\), l'aire est la même : \[6 \times h' = 48 \quad \text{donc} \quad h' = \frac{48}{6} = 8\ \text{cm}\]

On peut prendre n'importe quel côté comme base, à condition d'utiliser la hauteur qui lui correspond.

Exemple 5 : attention aux unités

Une plaque a une base de \(2\ \text{m}\) et une hauteur de \(50\ \text{cm}\). Calcule son aire en \(\text{cm}^2\) puis en \(\text{m}^2\).

On met tout dans la même unité : \(2\ \text{m} = 200\ \text{cm}\).

\[\mathcal{A} = 200 \times 50 = 10\,000\ \text{cm}^2\]

En mètres : \(50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}\), donc \(\mathcal{A} = 2 \times 0{,}5 = 1\ \text{m}^2\). On retrouve bien \(1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2\).

Un parallélogramme a une base de \(15\ \text{cm}\) et une hauteur de \(4\ \text{cm}\). Son aire est…

\(60\ \text{cm}^2\)
\(38\ \text{cm}^2\)
\(19\ \text{cm}^2\)

\(\mathcal{A} = 15 \times 4 = 60\ \text{cm}^2\). 38 serait le périmètre d'un rectangle 15 sur 4, et 19 la somme des deux longueurs.

Un parallélogramme a une aire de \(72\ \text{m}^2\) et une base de \(8\ \text{m}\). Sa hauteur relative mesure…

\(64\ \text{m}\)
\(576\ \text{m}\)
\(9\ \text{m}\)

\(h = \frac{72}{8} = 9\ \text{m}\). On divise l'aire par la base ; on ne soustrait pas et on ne multiplie pas.

4. Erreurs fréquentes

Awa calcule l'aire d'un parallélogramme de base \(10\ \text{cm}\), de côté oblique \(7\ \text{cm}\) et de hauteur \(6\ \text{cm}\). Elle trouve \(70\ \text{cm}^2\). Quelle est son erreur ?

Elle aurait dû diviser par 2
Elle a utilisé le côté oblique au lieu de la hauteur
Elle aurait dû additionner les longueurs

Elle a fait \(10 \times 7\). Le bon calcul est \(10 \times 6 = 60\ \text{cm}^2\), avec la hauteur.

Récapitulatif

La hauteur est perpendiculaire à la base ; ce n'est pas le côté penché.
\(\mathcal{A} = b \times h\), avec \(b\) et \(h\) dans la même unité.
Pour retrouver une longueur : \(h = \frac{\mathcal{A}}{b}\) ou \(b = \frac{\mathcal{A}}{h}\).
N'importe quel côté peut servir de base, avec la hauteur qui lui correspond.

Hauteur d'un parallélogramme

Segment perpendiculaire à la base qui la relie au côté opposé.

Formule de l'aire

\(\mathcal{A} = b \times h\)

Retrouver la hauteur

\(h = \frac{\mathcal{A}}{b}\)

Pourquoi \(b \times h\) ?

On découpe un triangle et on le recolle : on obtient un rectangle de longueur \(b\) et de largeur \(h\).

Unités

Mêmes unités pour \(b\) et \(h\) ; aire en unité carrée, par exemple \(\text{cm}^2\).