Travail et puissance : calcul de la puissance

La puissance mesure la rapidité avec laquelle un travail est effectué ou une énergie transférée : plus on fait le même travail vite, plus la puissance est grande.

Objectifs

Définir la puissance moyenne et son unité, le watt.
Calculer la puissance d'une force constante à partir de la vitesse, et celle d'un couple en rotation.
Calculer la puissance électrique d'un appareil et la puissance dissipée par effet Joule.
Relier puissance, énergie et durée, et calculer un rendement.

1. La puissance moyenne

Si un travail \(W\) est effectué pendant une durée \(\Delta t\), la puissance moyenne est

\[ P_m = \frac{W}{\Delta t} \]

\(W\) en joules (J), \(\Delta t\) en secondes (s), \(P\) en watts (W) : \(1\ \text{W} = 1\ \text{J}\cdot\text{s}^{-1}\).
Multiples : \(1\ \text{kW} = 10^{3}\ \text{W}\) ; \(1\ \text{MW} = 10^{6}\ \text{W}\).

Exemple résolu 1 : la motopompe

À Kaya, une motopompe monte \(500\ \text{kg}\) d'eau d'une hauteur de \(6\ \text{m}\) en \(20\ \text{s}\). On prend \(g = 10\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}\). Calcule le travail du poids de l'eau soulevée (en valeur absolue), puis la puissance moyenne de la pompe.

Étape 1 : la pompe doit compenser le poids de l'eau ; le travail fourni vaut \[ W = m\,g\,h = 500 \times 10 \times 6 = 30\,000\ \text{J} \]

Étape 2 : la puissance moyenne : \[ P_m = \frac{W}{\Delta t} = \frac{30\,000}{20} = 1\,500\ \text{W} = 1{,}5\ \text{kW} \]

Étape 3 : interprétation : une pompe deux fois plus puissante ferait le même travail en \(10\ \text{s}\).

Un travail de \(6\,000\ \text{J}\) est effectué en \(2\ \text{min}\). La puissance moyenne vaut :

\(3\,000\ \text{W}\)
\(50\ \text{W}\)
\(12\,000\ \text{W}\)

Il faut convertir la durée en secondes : \(2\ \text{min} = 120\ \text{s}\), donc \(P = \dfrac{6\,000}{120} = 50\ \text{W}\). Diviser par 2 sans convertir donne le piège \(3\,000\ \text{W}\).

2. Puissance d'une force et puissance d'un couple

a) Force constante, vitesse constante

Pour une force \(\vec{F}\) constante appliquée à un objet qui se déplace à la vitesse \(\vec{v}\), la puissance instantanée est le produit scalaire

\[ P = \vec{F}\cdot\vec{v} = F\,v\,\cos\alpha \]

où \(\alpha\) est l'angle entre \(\vec{F}\) et \(\vec{v}\) ; \(F\) en N, \(v\) en \(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), \(P\) en W.

Manipule : la courbe donne \(P = F\,v\,\cos\alpha\) en fonction de l'angle \(\alpha\) en degrés (axe horizontal). Change \(F\) et \(v\), puis observe : la puissance est maximale pour \(\alpha = 0°\) et nulle pour \(\alpha = 90°\).

Exemple résolu 2 : la charrette

La corde exerce une force \(F = 200\ \text{N}\) inclinée de \(\alpha = 30°\) au-dessus de l'horizontale ; la charrette roule à \(v = 1{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\). Cherche la puissance de la force, puis dévoile.

Voir la solution

\[ P = F\,v\,\cos\alpha = 200 \times 1{,}5 \times \cos 30° = 300 \times 0{,}866 \approx 260\ \text{W} \]

Si la corde était horizontale, on aurait \(P = 200 \times 1{,}5 = 300\ \text{W}\) : l'inclinaison fait « perdre » environ \(40\ \text{W}\) pour l'avancement.

b) Couple et rotation

Pour un solide qui tourne (roue, arbre de moteur, meule), on utilise le moment du couple \(M\) (en \(\text{N}\cdot\text{m}\)) et la vitesse angulaire \(\omega\) (en \(\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\)) :

\[ P = M\,\omega \qquad \text{avec} \qquad \omega = 2\pi n \]

où \(n\) est la fréquence de rotation en tours par seconde.

Exemple résolu 3 : le moulin à mil

Le moteur d'un moulin à mil à Tahoua exerce un couple de moment \(M = 20\ \text{N}\cdot\text{m}\) et tourne à \(1\,500\ \text{tr/min}\). Calcule sa puissance mécanique.

Étape 1 : fréquence de rotation : \(n = \dfrac{1\,500}{60} = 25\ \text{tr/s}\).

Étape 2 : vitesse angulaire : \[ \omega = 2\pi n = 2\pi \times 25 = 50\pi \approx 157\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1} \]

Étape 3 : puissance : \[ P = M\,\omega = 20 \times 50\pi = 1\,000\pi \approx 3\,140\ \text{W} \approx 3{,}1\ \text{kW} \]

Une force de \(100\ \text{N}\) perpendiculaire à la vitesse d'un objet qui se déplace à \(2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\) a une puissance de :

\(200\ \text{W}\)
\(50\ \text{W}\)
\(0\ \text{W}\)

\(\alpha = 90°\) donc \(\cos\alpha = 0\) et \(P = 100 \times 2 \times 0 = 0\ \text{W}\) : une force perpendiculaire au mouvement ne travaille pas.

3. Puissance électrique

Un appareil soumis à une tension \(U\) (en V) et traversé par un courant d'intensité \(I\) (en A) reçoit la puissance électrique

\[ P = U\,I \]

Dans un conducteur ohmique de résistance \(R\) (en \(\Omega\)), toute cette énergie est transformée en chaleur : c'est l'effet Joule. Comme \(U = R\,I\) :

\[ P_J = R\,I^{2} = \frac{U^{2}}{R} \]

Manipule : la courbe montre \(P_J = R\,I^{2}\) en fonction de \(I\) (axe horizontal, en A). Change \(R\) et observe : quand l'intensité double, la puissance dissipée est multipliée par 4.

Énergie et kilowattheure

Un appareil de puissance \(P\) qui fonctionne pendant \(\Delta t\) reçoit l'énergie

\[ E = P\,\Delta t \]

En joules si \(P\) est en W et \(\Delta t\) en s ; en kilowattheures (kWh) si \(P\) est en kW et \(\Delta t\) en heures. \(1\ \text{kWh} = 1\,000\ \text{W} \times 3\,600\ \text{s} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}\).

Exemple résolu 4 : le fer à repasser

Un fer à repasser fonctionne sous \(U = 230\ \text{V}\) et est traversé par \(I = 4\ \text{A}\). Il chauffe pendant 30 minutes. Si le kilowattheure coûtait \(100\ \text{F CFA}\) (prix choisi pour l'exercice), combien coûterait ce repassage ? Cherche, puis dévoile.

Étape 1 : puissance : \(P = U\,I = 230 \times 4 = 920\ \text{W} = 0{,}92\ \text{kW}\).

Étape 2 : énergie : \(E = P\,\Delta t = 0{,}92 \times 0{,}5 = 0{,}46\ \text{kWh}\) (30 min = 0,5 h).

Étape 3 : coût : \(0{,}46 \times 100 = 46\ \text{F CFA}\).

Étape 4 : en joules : \(E = 920 \times 1\,800 = 1\,656\,000\ \text{J} \approx 1{,}66 \times 10^{6}\ \text{J}\).

Exemple résolu 5 : effet Joule

Une résistance chauffante \(R = 50\ \Omega\) est parcourue par un courant \(I = 2\ \text{A}\). Quelle puissance dissipe-t-elle ?

Voir la solution

\[ P_J = R\,I^{2} = 50 \times 2^{2} = 50 \times 4 = 200\ \text{W} \]

Vérification avec \(U = R\,I = 100\ \text{V}\) : \(P = U\,I = 100 \times 2 = 200\ \text{W}\). ✔

Une ampoule de \(10\ \text{W}\) reste allumée \(5\ \text{h}\). Quelle énergie reçoit-elle ?

\(0{,}05\ \text{kWh}\)
\(50\ \text{kWh}\)
\(2\ \text{W}\)

\(E = P\,\Delta t = 10 \times 5 = 50\ \text{Wh} = 0{,}05\ \text{kWh}\). Une énergie ne s'exprime pas en watts.

4. Le rendement

flowchart LR
  A[Puissance electrique absorbee] --> B[Moteur]
  B --> C[Puissance mecanique utile]
  B --> D[Pertes en chaleur]

Le rendement \(\eta\) (lettre grecque « êta ») d'un convertisseur est

\[ \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}} \qquad \text{avec} \qquad 0 \le \eta < 1 \]

On l'exprime souvent en pourcentage. Les pertes valent \(P_{\text{absorbée}} - P_{\text{utile}}\).

Exemple résolu 6

Un moteur électrique absorbe \(2\,000\ \text{W}\) et fournit une puissance mécanique utile de \(1\,500\ \text{W}\). Calcule son rendement et ses pertes.

Étape 1 : \[ \eta = \frac{1\,500}{2\,000} = 0{,}75 = 75\ \% \]

Étape 2 : pertes : \(2\,000 - 1\,500 = 500\ \text{W}\), surtout dissipées en chaleur (effet Joule, frottements).

Un appareil annonce un rendement de \(120\ \%\). Que peut-on dire ?

C'est un très bon appareil.
C'est impossible : un rendement est toujours inférieur à 100 %.
C'est normal pour un moteur électrique.

La puissance utile ne peut pas dépasser la puissance reçue (conservation de l'énergie), et il y a toujours des pertes : \(\eta < 1\).

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les minutes ou les heures en secondes dans \(P = \dfrac{W}{\Delta t}\).
Oublier le \(\cos\alpha\) quand la force n'est pas dans le sens du mouvement.
Utiliser des tr/min directement dans \(P = M\,\omega\) sans calculer \(\omega = 2\pi n\).
Écrire \(P_J = R\,I\) au lieu de \(P_J = R\,I^{2}\).
Confondre la puissance (W, kW) et l'énergie (J, kWh).

Récapitulatif

Puissance moyenne : \(P_m = \dfrac{W}{\Delta t}\), en watts.
Force constante : \(P = F\,v\,\cos\alpha\) ; couple : \(P = M\,\omega\) avec \(\omega = 2\pi n\).
Électricité : \(P = U\,I\) ; effet Joule : \(P_J = R\,I^{2}\).
Énergie : \(E = P\,\Delta t\) ; \(1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}\).
Rendement : \(\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}} < 1\).

Puissance moyenne

\(P_m = \dfrac{W}{\Delta t}\), en watts (\(1\ \text{W} = 1\ \text{J}\cdot\text{s}^{-1}\))

Puissance d'une force

\(P = \vec{F}\cdot\vec{v} = F\,v\,\cos\alpha\)

Puissance d'un couple

\(P = M\,\omega\), avec \(\omega = 2\pi n\) en \(\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\)

Puissance électrique

\(P = U\,I\) ; effet Joule : \(P_J = R\,I^{2}\)

Énergie et kWh

\(E = P\,\Delta t\) ; \(1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}\)

Rendement

\(\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}}\), toujours inférieur à 1