Calcul des puissances

Une puissance est une multiplication répétée : \( a^n \) veut dire qu'on multiplie \( a \) par lui-même \( n \) fois.

Objectifs

Lire et écrire une puissance \( a^n \) avec un exposant entier positif.
Calculer un carré, un cube et une puissance quelconque.
Calculer avec les puissances de 10.
Respecter les priorités de calcul quand une expression contient une puissance.

1. Qu'est-ce qu'une puissance ?

Pour éviter d'écrire de longues multiplications, on utilise une écriture courte :

\[ \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} = a^n \]

On lit \( a^n \) : « \( a \) puissance \( n \) » ou « \( a \) exposant \( n \) ». Le nombre \( a \) est la base, le petit nombre \( n \) en haut est l'exposant : il compte combien de fois on écrit \( a \) dans la multiplication.

Pourquoi « carré » et « cube » ?

Un carré de 3 carreaux de côté contient \( 3^2 \) petits carreaux. Regarde-le se construire :

Une ligne du carré contient 3 carreaux.

Le carré a 3 lignes de 3 carreaux chacune.

Au total, \( 3 \times 3 = 3^2 = 9 \) carreaux : c'est pour ça qu'on dit « 3 au carré ».

De même, un cube de 3 petits cubes de côté contient \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \) petits cubes.

Comment écrire \( 7 \times 7 \times 7 \times 7 \) sous forme de puissance ?

\( 7 \times 4 \)
\( 7^4 \)
\( 4^7 \)

La base est 7 et elle est écrite 4 fois : \( 7^4 \).

2. Calculer une puissance

Pour calculer \( a^n \), on écrit la multiplication et on calcule de proche en proche.

Exemple résolu 1

Calcule \( 2^5 \). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On écrit la multiplication : \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \).

On calcule de gauche à droite : \( 2 \times 2 = 4 \), puis \( 4 \times 2 = 8 \), puis \( 8 \times 2 = 16 \).

Enfin \( 16 \times 2 = 32 \). Donc \( 2^5 = 32 \) : après 5 pliages, la feuille a 32 épaisseurs.

Exemple résolu 2

Calcule \( 5^3 \).

Voir la solution

\[ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125 \]

Fais varier la base \( a \) avec le curseur : la courbe montre la valeur de \( a^x \). Remarque que, pour \( a = 2 \) ou \( a = 3 \), la valeur grandit très vite quand l'exposant augmente, alors que pour \( a = 1 \) elle reste égale à 1.

Combien vaut \( 3^4 \) ?

\( 12 \)
\( 27 \)
\( 81 \)

\( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81 \). La réponse 12 vient de l'erreur \( 3 \times 4 \).

Combien vaut \( 1^{10} \) ?

\( 1 \)
\( 10 \)
\( 11 \)

On multiplie 1 par lui-même 10 fois : le résultat reste 1.

3. Les puissances de 10

Pour \( 10^n \), on écrit un 1 suivi de \( n \) zéros :

\[ 10^1 = 10 \qquad 10^2 = 100 \qquad 10^3 = 1\,000 \qquad 10^6 = 1\,000\,000 \]

Exemple : \( 4 \times 10^3 = 4 \times 1\,000 = 4\,000 \).

Combien de zéros a \( 10^5 \) écrit en chiffres ?

\( 10^5 = 100\,000 \) : un 1 suivi de 5 zéros.

4. Priorités de calcul

Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les puissances, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Les parenthèses passent avant tout.

\[ \text{parenthèses} \;\rightarrow\; \text{puissances} \;\rightarrow\; \times \text{ et } \div \;\rightarrow\; + \text{ et } - \]

Exemple résolu 3

Calcule \( A = 3 + 2^3 \), \( B = 2 \times 3^2 \) et \( C = (2 \times 3)^2 \).

\( A \) : la puissance d'abord. \( 2^3 = 8 \), donc \( A = 3 + 8 = 11 \).

\( B \) : la puissance d'abord. \( 3^2 = 9 \), donc \( B = 2 \times 9 = 18 \).

\( C \) : la parenthèse d'abord. \( 2 \times 3 = 6 \), donc \( C = 6^2 = 36 \).

Conclusion : \( B \) et \( C \) ont les mêmes nombres mais pas le même résultat. La place des parenthèses change tout.

Combien vaut \( 10 - 2^3 \) ?

\( 512 \)
\( 4 \)
\( 2 \)

La puissance d'abord : \( 2^3 = 8 \), puis \( 10 - 8 = 2 \).

Combien vaut \( (1 + 4)^2 \) ?

\( 25 \)
\( 17 \)
\( 10 \)

La parenthèse d'abord : \( 1 + 4 = 5 \), puis \( 5^2 = 25 \).

Erreurs fréquentes

Multiplier la base par l'exposant : \( 2^4 \neq 2 \times 4 \), car \( 2^4 = 16 \).
Confondre \( 2^3 = 8 \) et \( 3^2 = 9 \) : la base et l'exposant ne s'échangent pas.
Oublier que la puissance passe avant la multiplication et l'addition.
Écrire \( -3^2 = 9 \) : sans parenthèses, \( -3^2 = -9 \).

Récapitulatif

\( a^n = a \times a \times \cdots \times a \) avec \( n \) facteurs ; \( a \) est la base, \( n \) l'exposant.
\( a^2 \) : carré ; \( a^3 \) : cube ; \( a^1 = a \).
\( 10^n \) s'écrit 1 suivi de \( n \) zéros.
Priorités : parenthèses, puis puissances, puis \( \times \) et \( \div \), puis \( + \) et \( - \).

Puissance \( a^n \)

Produit de \( n \) facteurs égaux à \( a \).

Base et exposant

Dans \( 5^3 \), 5 est la base et 3 l'exposant : \( 5^3 = 125 \).

Carré et cube

\( a^2 = a \times a \) ; \( a^3 = a \times a \times a \).

Puissance de 10

\( 10^n \) : un 1 suivi de \( n \) zéros, par exemple \( 10^3 = 1\,000 \).

Priorité

Les puissances se calculent avant \( \times \), \( \div \), \( + \) et \( - \), mais après les parenthèses.