Calcul du barycentre

Objectifs

Comprendre la notion de barycentre (centre de masse) d'un système de points matériels.
Savoir calculer le barycentre pour 2 ou plusieurs masses en utilisant les vecteurs et les coordonnées.
Appliquer la formule générale et vérifier les résultats par des cas simples ( masses égales, collisions en ligne ).

Notions clés

Définition formelle : Le barycentre R d'un système de masses {m_i} situées aux vecteurs r_i est donné par

\[ \vec{R} = \frac{\displaystyle \sum_{i} m_i \vec{r_i}}{M}, \quad M = \sum_{i} m_i. \]

En chiffres, pour deux particules m₁, m₂ et positions r₁, r₂ :

\[ \vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1+m_2}, \quad M = m_1 + m_2. \]

Formules utiles en coordonnées (2D) :

\[ R_x = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M}, \\ R_y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{M} \],
avec M = m_1 + m_2.

Question : Le barycentre d'un système est...

Le point qui équilibre les masses pondérées
Le point moyen des positions sans tenir compte des masses
Le centre géométrique des points

Réponse : c'est le point qui équilibre les masses pondérées (option 1).

Exemples résolus

Problème : Deux masses m₁ = 2 et m₂ = 3 sont situées respectivement en r₁ = (1, 3) et r₂ = (5, 1). Calculer le barycentre.

Utilisons la formule générale :

\[ \vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2} \], \[ M = m_1 + m_2 = 5. \]

Or :

\[ \vec{R} = \left( \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 5}{5}, \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 1}{5} \right) = \left( \frac{17}{5}, \frac{9}{5} \right). \]

Voir la solution

Étape 1 : écrire M et la formule du barycentre

Étape 2 : remplacer les valeurs (m1=2, m2=3, r1=(1,3), r2=(5,1))

Étape 3 : calculer les composantes x et y

Résultat : \vec{R} = (17/5, 9/5)

Question : Si m1 et m2 augmentent de façon égale mais leurs positions restent fixes, que devient le barycentre?

Il bouge sans raison
Il reste à la même place
Il dépendra du vecteur nul

Réponse : il reste à la même place car seule la distance et les masses changent, mais la somme pondérée ne bouge pas sans changement de positions.

Erreurs fréquentes

Erreur courante : croire que pour des masses égales, le barycentre est simplement le milieu du segment joignant les points, ce qui est correct en 1D ou pour deux points uniquement si les masses sont égales et les points alignés; sinon, il faut prendre en compte les vecteurs et les masses.

Formule utile récapitulative :

\[ \vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r_i}, \quad M = \sum_{i=1}^n m_i. \]

Question : Le barycentre n'est PAS...

Le point où la masse peut être considérée comme concentrée
Un point dont les coordonnées ne dépendent pas des masses
Le point où les torques des masses s'équilibrent

Réponse : c'est vrai, mais l'énoncé b est faux car le barycentre dépend des masses et des positions.

Récapitulatif

Définition générale : \[ \vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r_i}, \quad M = \sum_{i=1}^n m_i. \]
Cas particulier à deux masses : \[ \vec{R} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2}}{m_1 + m_2}. \]
Coordonnées : \( R_x = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M}, \ R_y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{M}. \)

Barycentre

Point moyen pondéré par les masses

Masse totale M

Somme des masses: M = Σ m_i

Vecteur r_i

Position de chaque masse

Question : Pour un système à n points, le barycentre est obtenu en faisant la moyenne pondérée des vecteurs r_i par les masses m_i et en divisant par M = Σ m_i. Vrai ou faux ?

Vrai
Faux

Réponse : vrai, c'est la définition même.