Calcul du barycentre

Introduction

Le barycentre d’un système de points est le point où l’on pourrait le faire peser pour qu'il soit en équilibre si chaque point représentait une masse. C’est une sorte de centre de gravité pour un ensemble de points.

Situation simple : deux points

Considérons deux points \(A\) et \(B\) ayant des positions \(ec{A}\) et \(ec{B}\) dans le plan, et des masses respectives \(m_A\) et \(m_B\).

Le barycentre \(G\) de ces deux points est le point qui divise le segment \(\overline{AB}\) selon leurs masses. La formule est :

\[\ ec{G} = rac{m_A 	imes ec{A} + m_B 	imes ec{B}}{m_A + m_B}\ \]

Ce qui signifie que le vecteur de position du barycentre est la moyenne pondérée des positions des points, chaque position étant pondérée par sa masse.

Extension à plusieurs points

Pour plusieurs points \( P_1, P_2, ..., P_n \) avec des masses \( m_1, m_2, ..., m_n \) et des positions \( ec{P_1}, ec{P_2}, ..., ec{P_n} \), la formule devient :

\[\ ec{G} = rac{\sum_{i=1}^{n} m_i 	imes ec{P_i}}{\sum_{i=1}^{n} m_i}\ \]

Exemple

Supposons 3 points :

• \(A(2, 3)\) avec une masse \(m_A=2\)
• \(B(4, 5)\) avec une masse \(m_B=3\)
• \(C(6, 1)\) avec une masse \(m_C=5\)

Le barycentre \(G\) a pour coordonnées :

\[\ ec{G} = rac{2 	imes (2, 3) + 3 	imes (4, 5) + 5 	imes (6, 1)}{2 + 3 + 5}\ \]

Calculons chaque composante :

• Coordonnée x : \(rac{2 imes 2 + 3 imes 4 + 5 imes 6}{10} = rac{4 + 12 + 30}{10} = rac{46}{10} = 4.6\)
• Coordonnée y : \(rac{2 imes 3 + 3 imes 5 + 5 imes 1}{10} = rac{6 + 15 + 5}{10} = rac{26}{10} = 2.6\)

Donc, le barycentre est au point \((4.6, 2.6)\).

Conclusion

Le barycentre se calcule en effectuant une moyenne pondérée des positions, chaque position étant multiplicée par la masse associée. C’est un outil très utile en géométrie et en physique pour trouver le centre d’équilibre d’un système.