Qu'est-ce que le barycentre ?

Le barycentre d'un ensemble de points est leur centre de gravité, c'est-à-dire le point où leur masse ou leur poids serait équilibré. Pour deux points ou plus, il se calcule en faisant une moyenne pondérée de leurs positions.

Situation simple : deux points

Considérons deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) avec des masses \( m_A \) et \( m_B \). Le barycentre \( G \) est donné par :

\[ \left\{\begin{aligned} X_G &= \frac{m_A x_A + m_B x_B}{m_A + m_B} \ Y_G &= \frac{m_A y_A + m_B y_B}{m_A + m_B} \end{aligned}\right.\]

Généralisation à plusieurs points

Pour un ensemble de points \( P_1, P_2, ..., P_n \) avec des masses respectives \( m_1, m_2, ..., m_n \), le barycentre \( G \) a pour coordonnées :

\[ \left\{\begin{aligned} X_G &= \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \ Y_G &= \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \end{aligned}\right.\]

On calcule donc une moyenne pondérée en utilisant les masses comme coefficients.

Exemple concret

Supposons trois points : - \(A(1, 2)\) avec une masse de 2, - \(B(3, 4)\) avec une masse de 3, - \(C(5, 0)\) avec une masse de 1.

Le barycentre \(G\) a pour coordonnées :

\[X_G = \frac{2 \times 1 + 3 \times 3 + 1 \times 5}{2 + 3 + 1} = \frac{2 + 9 + 5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\]

\[Y_G = \frac{2 \times 2 + 3 \times 4 + 1 \times 0}{6} = \frac{4 + 12 + 0}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\]

Le barycentre \(G\) a donc pour coordonnées \(\left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)\).